Permutação circular–AFRFB 2009

27 Aug

Hoje resolvo uma questão que gerou muita dúvida em meu curso para o AFRFB.

Segue enunciado:

(ESAF – AFRFB 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resolução.

Primeiro apresento a solução dada em aula.

Quando a questão diz que a mesa é circular, significa que, de início, todos os lugares são equivalentes entre si. Não há uma referência, algo que diferencie um lugar do outro.

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Vamos alocar o primeiro homem. Há 6 opções de lugar para ele, mas todos são equivalentes, pois todos os lugares são vistos como “iguais”, já que não há uma referência, algo que os diferencie.

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Posicionado o primeiro homem, agora nós criamos uma referência. Este homem será a referência. Temos agora um lugar à sua esquerda, outro à sua direita, outro que lhe é oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar à esquerda deste homem. Neste lugar, só podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, há 3 formas de preenchermos esta cadeira.

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Vamos agora para o lugar seguinte. Ele só pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tínhamos 3 homens, mas já alocamos 1. Faltam 2. Com isso, há duas formas de executarmos esta etapa.

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Para o lugar seguinte, temos duas opções de mulher.

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Com o mesmo raciocínio, preenchemos os demais lugares:

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O número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por:

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Como não há alternativa correta, a questão foi anulada.

Gabarito: anulado

Muito bem. A maior dúvida que surgiu em aula foi: por que é que, para alocar o primeiro homem, não podemos considerar que temos 3 opções diferentes?

Muito bem, façamos isso. Se essa fosse a solução, teríamos:

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Seriam 36 configurações possíveis.

Vamos focar em uma delas:

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Estou considerando que “A”, “C” e “E” são homens. O homem sempre ocupa a posição “meio-dia” do relógio. “B”, “D” e “F” são mulheres.

Agora observem a configuração abaixo:

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Agora vejam outro caso:

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Observem que essas três configurações são idênticas.

Isso porque não há referência física fora da mesa. Só o que importa é a posição relativa entre as pessoas.

Em todos os casos, “F” está na frente de “C”. “A” está entre “B” e “F”. “E” tem “F” à sua esquerda e “D” à sua direita. E assim por diante. Ou seja, os posicionamentos relativos não mudaram. Simplesmente demos um “giro” na mesa. Simplesmente rodamos as pessoas em círculo. Isso não altera o posicionamento relativo entre elas. Por isso temos uma permutação circular.

Todas essas 3 configurações, na verdade, correspondem a 1 só.

Então cada configuração foi contada repetidas vezes. Foi contada 3 vezes mais do que deveria. Por isso temos que dividir o resultado obtido por 3:

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Que resulta novamente em 12

Resumo da ópera: na permutação circular, aloque a primeira pessoa. Assim você terá uma referência para alocar as demais. Pronto. Daí sim, continue resolvendo o exercício normalmente.

Para mais questões de concursos comentadas, veja também TecConcursos.

4 thoughts on “Permutação circular–AFRFB 2009

  1. Oi Pedro, a resposta é 12, justamente porque o que importa é a posição relativa. Exemplo: se vierem, no sentido horário, João, Maria, Pedro, Ana, Paulo e Beatriz, pouco importa quem estará voltado para a posição "meio dia". Tanto faz ser Pedro, Maria, João, Ana, etc, tanto faz, todos esses casos são no fundo um caso só, pois o que importa é a posição relativa entre eles. Para dar 36 teríamos que considerar que, a cada giro na mesa, mudamos o caso, o que não ocorre.

  2. Oi Pedro! Isso, são pessoas diferentes e, mais importante ainda: o que importa é a posição relativa entre eles.

  3. Boa noite,
    no caso não seria 36 pelo motivo de serem pessoas diferentes? nao considerando HHH e MMM, mas JOAO PEDRO E PAULO e MARIA ANA E BEATRIZ?

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