Probabilidade condicional

8 Sep

Hoje respondo a uma dúvida da Cristiane Ferreira. Não sei se é de algum concurso ou não.

 

Enunciado:

Dados A e B eventos com

clip_image002

calcular:

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Resolução.

Antes de tudo, temos que relembrar a fórmula da probabilidade condicional. É a que segue:

clip_image008

Agora aplicamos este resultado à questão.

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No numerador temos a intersecção entre dois conjuntos:

– o conjunto “A união com B”

– o conjunto B

Vejam que o segundo conjunto está contido no primeiro. Logo, a intersecção corresponderá ao conjunto menor:

clip_image014

Esse resultado não é tão difícil de entender. Se é dado que o evento B ocorreu, então temos certeza absoluta de que ocorreu o evento A ou o evento B (união). Por isso a probabilidade é 1.

Antes de atacarmos a letra “b”, vamos calcular a probabilidade da união:

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Na letra “b”, a primeira probabilidade a ser calculada é:

clip_image020

Aplicando a fórmula da probabilidade condicional:

clip_image022

No numerador, queremos a probabilidade de que o evento “A” não ocorra e o evento “B” também não ocorra.

Isso é exatamente o contrário da união entre A e B. Para ficar mais claro, vejamos o diagrama:

clip_image023

Em amarelo temos a união entra A e B.

Em azul temos a parte do diagrama que corresponde à intersecção entre clip_image025 (A não ocorre) e clip_image027 (B não ocorre). Os eventos em amarelo e em azul são complementares.

Assim:

clip_image029

Agora podemos voltar no cálculo da probabilidade condicional:

clip_image022[1]

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Analogamente:

clip_image033

Por fim, outra forma de resolver a questão é trabalhar com um exemplo numérico.

Considere que tenhamos em uma urna 12 bolas numeradas de 1 a 12.

O evento A ocorre quando extraímos um bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

O evento B ocorre quando extraímos uma bola do conjunto {4, 5, 6, 7}

Com isso, vocês podem verificar que:

clip_image002[1]

Se é dado que B ocorreu, então extraímos uma das seguintes bolas: 4, 5, 6, 7.

Logo, temos certeza de que o evento A união com B ocorreu. Temos certeza que alguma bola do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} foi extraída. Por isso a probabilidade da letra “a” é 1.

Se é dado que B não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {1, 2, 3, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “A” é de 5 em 8. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 8 possíveis. Por isso:

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Se é dado que A não ocorreu, então é porque foi extraída alguma bola do seguinte conjunto: {7, 8, 9, 10, 11, 12}. A chance de tal bola não pertencer ao conjunto “B” é de 5 em 6. Isso porque são 5 casos favoráveis (ver bolas sublinhadas – de 8 a 12) em 6 possíveis. Por isso:

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Cris, espero ter ajudado.

Para mais questões comentadas, acesse www.tecconcursos.com.br.

Bons estudos!

Vítor

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vitor@tecconcursos.com.br

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