Lógica de argumentação–Auditor fiscal do trabalho 2010

18 Jan

No meu curso de lógica trabalhamos diversas técnicas de análise de argumentos. A 4ª técnica, que chamo de “análise de baixo para cima”, é uma bem interessante, que parte da conclusão, em seguida analisa as premissas, e com isso consegue determinar se o argumento é ou não válido.

Não vou reproduzir a explicação detalhada hoje, vou dar apenas o resultado final, que é apresentado no quadro abaixo:

atec

Bom, uma questão bem complicada abordando este assunto foi cobrada pela Esaf no concurso do AFT 2010. Segue enunciado:

(ESAF 2010 – AFT) Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:

a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

 

No meu curso eu apresentei uma solução. Mas alguns alunos me pediram para apresentar uma segunda.

Vamos lá. Vou iniciar pela solução já apresentada durante o curso:

Bom, antes de tudo é bom frisar que a questão é difícil mesmo. Ela assusta por conta da quantidade de nomes “esquisitos”

Lembro que, durante o concurso do AFT 2010, na época dos recursos, a questão gerou muita polêmica. Minha caixa postal ficou cheia, teve muito concurseiro querendo a anulação da questão que, ao meu ver, está perfeita.

Teve muito aluno que saiu julgando as alternativas em verdadeiro ou falso, querendo argumentar que havia mais de uma alternativa correta.

O grande detalhe é: em análise de argumentos, não importa se as premissas são verdadeiras ou falsas, nem se a conclusão é verdadeira ou falsa. Isso não importa. Só analisamos a forma do argumento. Queremos saber se, assumindo que as premissas são verdadeiras, elas suportam a conclusão. Apenas isso.

Então vamos lá, vamos resolver a questão.

Premissa: Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

E cada alternativa traz uma conclusão diferente. Temos que identificar qual delas é logicamente suportada pela premissa.

Antes de fazermos isso, um comentário.

Se fôssemos tomar como base o “mundo real”, ou seja, se fôssemos tomar como base os ensinamentos de geometria, a premissa seria falsa. Isso mesmo. Ela é falsa porque existem tetraedros que são irregulares.

Pergunta: isso é relevante? Isso é importante?

Não, não é. Pouco importa o que diz a geometria. Só vamos analisar a forma do argumento. Portanto, vamos supor que a premissa é verdadeira mesmo.

Ok, vamos ler com calma a premissa. Olha o tanto de informações que ela nos traz:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Vamos dar nomes às proposições simples:

x: o poliedro é convexo

r: o poliedro é regular

t: o poliedro é um tetraedro

c: o poliedro é um cubo

o: o poliedro é um octaedro

d: o poliedro é um dodecaedro

i: o poliedro é um icosaedro.

Em símbolos, a premissa ficaria assim:

clip_image002

Olha o tanto de proposições simples que nós temos. São 7 proposições simples. Fazer a tabela verdade seria algo impensável…

Vamos agora analisar as alternativas.

a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

Premissa:

Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Conclusão:

Se um poliedro é convexo e regular, então o poliedro é um cubo.

E aí? A premissa suporta a conclusão?

Vamos escrever o argumento com símbolos:

Premissa:

clip_image002[11]

Conclusão:

clip_image002[13]

Na técnica 4, iniciamos fazendo a conclusão falsa. Para que a conclusão seja falsa, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Com isso, temos:

x: verdadeiro

r: verdadeiro

c: falso

Agora vamos tentar fazer a premissa verdadeira.

A primeira parcela do bicondicional é verdadeira, pois x e r são verdadeiros.

(V e V) = V

   

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Se tivermos “t” verdadeiro, a segunda parcela do bicondicional também será verdadeira.

(V e V) = V

 

(V ou F ou ? ou ? ou ?) = V

clip_image008[1]

clip_image010[1]

clip_image012[1]

Se as duas parcelas do bicondicional são verdadeiras, então essa premissa é verdadeira.

Pronto. Achamos um caso de premissa verdadeira e conclusão falsa. É o caso em que “x”, “r” e “t” são verdadeiros e “c” é falso. O argumento é inválido.

b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

Agora, em vez de usar símbolos, vamos usar palavras.

Vamos imaginar que temos um octaedro convexo e regular. Neste caso, a premissa seria verdadeira e a conclusão seria falsa.

Achamos um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. O argumento é inválido.

c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

Vamos agora analisar usando símbolos.

Premissa:

clip_image002[1]

Conclusão:

clip_image014

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Isso ocorrerá se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso.

Para que o antecedente seja verdadeiro, devemos ter:

c, t, o, d, i: falsos

Para que o consequente seja falso, devemos ter:

r: verdadeiro

Vamos agora tentar fazer a premissa ser verdadeira.

A segunda parcela do bicondicional é falsa (pois c, t, o, d, i são falsos).

Para que o bicondicional seja verdadeiro, a primeira parcela deve ser falsa.

A primeira parcela é:clip_image016

Sabemos que r é verdadeiro. Assim, para que a primeira parcela seja falsa, devemos ter x falso.

Pronto. Quando x, c, t, o, d, i forem falsos e r for verdadeiro, a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa.

Mas professor, isso é um absurdo. Se o senhor afirma que r é verdadeiro e x é falso, está dizendo que existe poliedro regular que não é convexo. Mas isso é falso. Lá na geometria a gente aprende que todos os poliedros regulares são convexos.

Aí vem o detalhe: não interessa o que diz a geometria. Em argumentos, só vemos a forma. Não interessa o conteúdo, a correspondência com o mundo real.

A conclusão até pode ser verdadeira no mundo real. Mas não é suportada pela premissa fornecida. Logo, o argumento é inválido.

d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Vamos analisar com palavras.

Vamos imaginar um poliedro que seja regular, mas não seja convexo (o nome seria: côncavo)

Neste caso, a premissa seria verdadeira (pois as duas parcelas do bicondicional seriam falsas). E a conclusão seria falsa, pois a primeira parcela do bicondicional é falsa e a segunda é verdadeira.

e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

Vamos analisar com símbolos.

Premissa:

 clip_image002[2]

Conclusão:

clip_image018

Vamos tentar fazer a conclusão ser falsa.

Temos um condicional. Para que ele seja falso, o antecedente deve ser verdadeiro e o consequente deve ser falso. Isso ocorrerá quando:

~r é verdadeiro, logo r é falso

~c é falso, logo, c é verdadeiro

Agora vamos tentar fazer com que a premissa seja verdadeira.

A premissa é:

clip_image002[3].

Temos um bicondicional. Sua primeira parcela é falsa (pois r é falso). Sua segunda parcela é verdadeira, pois c é verdadeiro. Assim, o bicondicional é falso.

Ou seja, não conseguimos achar um caso de premissa verdadeira com conclusão falsa. Não conseguimos achar a linha que torna o argumento inválido.

Isso é porque esta linha não existe. O argumento é válido.

Gabarito: E


Muito bem, como disse no início do artigo, houve alunos pedindo uma segunda solução. Vamos a ela.

Podemos utilizar a representação por meio de conjuntos. Eu particularmente procuro evitar isso em análise de argumentos que não envolvam proposições categóricas. É que, salvo no caso das proposições categóricas, a representação por conjuntos deixa a desejar e, se o aluno for desorganizado, acaba errando.

Em todo caso, vejamos como fazer.

Vamos representar os conjuntos:

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O conjunto da esquerda representa os elementos que são convexos.

O conjunto do meio representa os elementos que são regulares

O conjunto da direita representa os elementos que são côncavos.

Os únicos elementos da intersecção em branco (regular e convexo) são os ali indicados: dodecaedro, cubo, tetraedro, icosaedro, octaedro. Com isso obedecemos à premissa que que nos diz que:

1) se o poliedro é convexo e regular, então é dodecaedro, tetraedro, cubo, icosaedro ou octoedro

2) se o poliedro é dodecaedro, tetraedro, cubo, icosaedro ou octoedro, então é convexo regular

Muito bem. vamos às alternativas.

 

Letra A: Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.

Isso está errado. Se o poliedro é convexo e regular (região branca), não é necessariamente um cubo. Poderia ser um tetraedro, ou octaedro, entre outros.

 

Letra B: Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.

Também está errado. Poderia ser um tetraedro e, com isso, estar na região branca. Logo, seria sim regular.

 

Letra C: Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é regular.

Também está errado. Sabemos que o poliedro não está na região branca (pois não é cubo, nem octaedro, em dodecaedro, nem icosaedro). Mas poderia muito bem estar na região amarela, onde temos os regulares que não são convexos.

Aqui é importante lembrar que estamos ignorando os ensinamentos da geometria. A geometria nos diz que não há elementos na região amarela. Contudo, em lógica, só podemos usar o que foi dado no argumento. Como tal informação não foi dada, a princípio, é sim possível que a região amarela tenha elementos.

 

Letra D; Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Mesma coisa da alternativa anterior. Por conta da região amarela, que pode sim ter elementos, não podemos afirmar que quem está fora da região branca não é regular.

 

Letra E: Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.

Perfeito. Se o elemento está fora do conjunto do meio (regular), então realmente não tem como ser um cubo (pois o cubo está dentro do conjunto do meio).

É isso

Bons estudos!

 

Vítor

One thought on “Lógica de argumentação–Auditor fiscal do trabalho 2010

  1. Realmente.. com a parte gráfica ficou muito fácil de entender… pena que é aquela questão que citou… se desenhar errado vai se complicar todo… excelente explicação..

    Abraço

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