Probabilidade MPOG 2005

8 Feb

Hoje resolvemos a seguinte questão da Esaf:

(ESAF 2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80

b) 72

c) 90

d) 18

e) 56

Resolução:

Vamos dividir o problema em etapas. A primeira etapa vai ser escolher a cadeira de Paulo. A segunda etapa vai ser escolher a cadeira de Pedro.

Quando Paulo se senta na primeira cadeira da fila, para Pedro só há 8 opções. Pedro só pode sentar nas cadeiras de 3 a 10, de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre eles.

Deste modo, alocando Paulo na primeira cadeira, há 8 modos de escolher a cadeira de Pedro.

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Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na primeira cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Analogamente, quando Paulo se sentar na última cadeira, Pedro só poderá se sentar nas cadeiras de 1 a 8.

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Há 8 maneiras de os dois se sentarem, com Paulo na décima cadeira, havendo pelo menos um lugar vago entre eles.

Finalmente, Paulo ainda pode se sentar nas cadeiras de 2 a 9.

Neste caso, Pedro não poderá se sentar nem na cadeira imediatamente anterior, nem na cadeira imediatamente posterior, nem na própria cadeira escolhida por Paulo. Restarão, portanto, 7 opções de cadeira para Pedro.

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Há 56 maneiras de Pedro e Paulo se sentarem com pelo menos uma cadeira vazia entre eles, de tal modo que Paulo ocupe uma das cadeiras de 2 a 9.

Somando tudo, temos:

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Há 72 maneiras de eles ocuparem as cadeiras, deixando um lugar vazio entre eles.

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