Manipulação de somatório

15 Feb

No meu curso de estatística trabalhamos algumas igualdades envolvendo somatório. São elas:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

Daí o Rodolfo, aluno do meu curso de estatística, pediu que eu apresentasse uma demonstração desses resultados.

Bem, uma demonstração formal, ficarei devendo. Mas dá para entender de onde vêm essas igualdades.

Vejamos, por exemplo, a segunda igualdade.

Vamos trabalhar com:

clip_image008

Primeiro fazemos o quadrado da diferença:

clip_image010

Agora separamos o somatório da soma em soma de somatórios:

clip_image012

Mas a média aritmética é uma constante. Podemos retirá-la do somatório:

clip_image014

No último termo, temos o somatório de uma constante. Estamos somando:

clip_image016

“n” vezes. Logo, o resultado será: clip_image018

clip_image020

Lembrando a definição de média aritmética:

clip_image022

O que resulta em:

clip_image024

Podemos substituir isso na nossa expressão. Tínhamos parado no seguinte ponto:

clip_image020[1]

Agora substituímos o valor de clip_image026:

clip_image028

clip_image030

clip_image032

Que foi uma das igualdades envolvendo somatório que apresentamos em aula:

clip_image034

Fizemos bem devagar, para ficar claro cada passo. Mas dá para fazer bem mais rápido.

Vejamos agora com a variável Y, como fica:

clip_image036

clip_image038

clip_image040

clip_image042

Se vocês repararem bem, esta é exatamente a mesma igualdade utilizada na minha aula de medidas de dispersão, quando estudamos a forma alternativa de cálculo da variância. Lembrando. A fórmula de definição é:

clip_image044

Agora substituímos o numerador, usando a igualdade que aprendemos a calcular:

clip_image046

clip_image048

clip_image050

No primeiro termo, temos a média dos quadrados de X:

clip_image052

Que é a forma alternativa de cálculo da variância.

E para não passar batido, vamos para a última igualdade que está faltando:

clip_image054

clip_image056

clip_image058

clip_image060

clip_image062

clip_image064

Apesar de num primeiro momento parecer muito difícil fazer toda essa manipulação acima, se você tentar fazer sozinho algumas vezes, verá que é bem rápido. Então deixo ao critério de cada um. Se você preferir decorar as igualdades envolvendo somatório, decore. Se preferir deduzir rapidamente quando precisar, ok, também serve.

Só ressalto que elas são realmente importantes, pois são muito utilizadas nas aulas de regressão linear e de análise de variância.

Leave a Reply