Análise combinatória

3 Mar

Na aula do meu curso de Raciocínio Lógico para STN, utilizei a questão abaixo, que trata de análise combinatória. A questão gerou dúvidas no fórum do curso, por isso resolvi abordá-la com maior detalhe. Segue enunciado:

(AFRFB 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resolução.

Começando com a solução apresentada em aula.

Para formar uma reta, nós precisamos de 2 pontos. Assim, o número total de retas é dado por:

clip_image002

Só que tem um problema na resolução acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C

B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos não são diferentes entre si. É a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

clip_image004

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D são, na verdade, 1 reta só. Ou seja, 5 retas estão “sobrando”, estão sendo contadas em excesso, indevidamente.

O número correto de retas fica:

clip_image006

Gabarito: A

A dúvida foi a seguinte: por que não fizemos a combinação de 7 pontos, tomados 4 a 4?

Nós utilizaríamos tal combinação se, de um grupo de 7 pontinhos, quiséssemos escolher 4. Mas não é o caso. O foco da questão é calcular a quantidade de retas. E cada reta é formada por dois pontinhos. São dois pontos que definem uma reta, e não 4.

Para melhor esclarecimento, considerem que temos 7 pontinhos, conforme abaixo desenhado:

atec1

 

Desenhamos 7 pontos, de modo que 4 deles são colineares, como determinado pelo enunciado. Agora nosso interesse é contar quantas retas é possível formar. Então basta irmos ligando dois pontos quaisquer, pois dois pontos definem uma reta. Abaixo, representamos as 6 primeiras retas:

atec1

Vejam que escolhemos um ponto em particular e, a partir dele, fomos traçando retas, ligando-o aos demais pontos. Então o que é relevante é de quantas formas podemos tomar dois pontinhos para formar retas (combinação de elementos, tomados 2 a 2).

Abaixo, seguem mais 5 retas:

atec1

Agora mais 4 retas:

atec1

E, finalmente, pelo fato de haver 4 pontinhos colineares, eles acabam definindo uma reta só, que é a que falta:

atec1

Total de retas: 6 + 5 + 4 + 1 = 16. São 16 retas ao todo.

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