Resolução da prova de RLQ EPPGG 2013–questão 36

13 Aug

36- Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6.

Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z dado pelo intervalo

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Se ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo

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em que N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se correu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a:

a) 6/31

b) 1/2

c) 1/12

d) 1/7

e) 5/6


Resolução:

Problema de aplicação da fórmula do teorema de Bayes. Você pode optar por usar a fórmula, ou então ir para a abordagem frequentista da probabilidade.

1ª solução: abordagem frequentista

Suponha que a gente lance a moeda 60 vezes.

Em 1/6 das vezes dá coroa. Logo, são 10 coroas. Nestas 10 vezes, selecionamos um número entre aqueles do conjunto P: {1, 2, 3, 4}. Metade deles é par e metade é ímpar. Logo, nos dez resultados coroa, temos:

  • 5 números pares
  • 5 números ímpares

Nas outras 50 vezes, o resultado deu cara. Neste caso, escolhemos um número do conjunto Z: {7, 8, 9, 10, 11}. Neste conjunto, são 3 ímpares e 2 pares. Ou seja, em 40% dos casos teremos resultado par, e em 60% teremos resultado ímpar:

  • 0,6 x 50 = 30 resultados ímpares
  • 0,4 x 50 = 20 resultados pares

É dado que o número sorteado é ímpar. Logo, estamos diante de um dos 35 casos abaixo:

5 números ímpares obtidos nos lançamentos “coroa”

30 números ímpares obtidos nos lançamentos “cara”

Queremos a probabilidade de coroa. São 5 casos favoráveis em 35. A probabilidade é 5/35

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Gabarito: D

2ª solução: aplicando a fórmula

Seja “I” o evento que ocorre quando o número sorteado é ímpar. Seja “K” o evento que ocorre quando o lançamento da moeda resulta em coroa. Seja “C” o evento correspondente a resultado cara.

O exercício nos disse que:

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Dando coroa, o conjunto numérico é {1, 2, 3, 4}, que tem metade dos casos sendo números ímpares. Logo:

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Dando cara, o conjunto numérico é {7, 8, 9, 10, 11}, que tem 60% dos casos sendo números ímpares. Logo:

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Agora aplicamos o teorema:

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Multiplicando todos os termos por 6 não alteramos a fração:

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