Resolução das questões sobre séries de pagamento

24 Aug

Hoje damos continuidade à resolução das questões de nossa lista de matemática financeira:


Questão 93 (Esaf)

Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a:

a) R$ 5.856,23

b) R$ 5.992,83

c) R$ 6.230,00

d) R$ 6.540,00

e) R$ 7.200,00

Dados:

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Resolução.

Neste financiamento há um período de carência. Ou seja, um período no qual não é feito nenhum pagamento.

Vamos colocar datas para ficar mais fácil de entender.

A operação foi feita no dia 31/12/00 (data zero).

O final do primeiro mês é dia 31/01/01 (data 1).

O final do segundo mês é dia 28/02/01 (data 2).

O final do terceiro mês é dia 31/03/01 (data 3).

O final do quarto mês é dia 30/04/01 (data 4). Só aqui começam os pagamentos.

O final do quinto mês é dia 31/05.

E assim por diante.

Abaixo segue o fluxo de caixa:

clip_image009

Temos 12 pagamentos iguais a X, sucessivos, espaçados de 1 mês.

Queremos transportar todos estes valores para a data zero, ou seja, para a data em que a operação foi feita.

Vamos usar o fator de valor atual de uma série de pagamentos.

Com este fator vamos conseguir transportar todo o fluxo de caixa para a data correspondente a 1 mês antes do primeiro pagamento. Ou seja, para a data 3.

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Ou seja, vamos substituir todas as setas vermelhas pela seta verde. Vamos trocar todo o fluxo de caixa por um único pagamento, referente à data 3. Basta tomar o fator clip_image012

Portanto, o valor do fluxo de caixa na data 3 (1 mês antes do primeiro pagamento) é:

clip_image014

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Pronto. Temos o valor do fluxo de caixa na data 3.

Mas ainda não dá para descobrir o valor de X. Para descobrir o valor de X, temos que achar o valor do fluxo de caixa na data zero (data em que foi feito o financiamento).

Então vamos pegar o valor do financiamento, que está na data 3, e vamos levar para a data zero.

Vamos ter uma operação de desconto, referente a 3 meses.

Vamos trocar o pagamento declip_image018, referente à data 3, que é equivalente a todo o financiamento, por um outro pagamento, referente à data zero, que também será equivalente a todo o fluxo de caixa.

Vamos pegar o valor clip_image018[1] e vamos recuar no tempo 3 meses. Haverá desconto.

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Pronto. Este é o valor do financiamento na data zero. Ou seja, na data em que foi feita a operação. Portanto, este valor acima tem que ser exatamente igual ao valor financiado. Tem que ser igual a R$ 50.000,00.

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Gabarito: B.

Quanta continha, não é!?!

Outra possível resolução é a seguinte.

A idéia é fazer uma quantidade um pouco menor de contas, explorando melhor as tabelas fornecidas na prova.

Podemos “acrescentar” pagamentos novos, para completarmos a série. Ficaria assim (em verde os pagamentos acrescentados):

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Para transportar este fluxo de caixa para a data zero, usamos o fator para 15 pagamentos e taxa de 4%.

Temos:

clip_image030

Logo, o valor deste fluxo de caixa, quando transportado para a data zero, é de:

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Mas este fluxo de caixa ainda não é equivalente aos 50.000,00 inicialmente financiados, por conta dos pagamentos em verde, que foram acrescentados. Precisamos retirá-los. Precisamos subtrair o valor correspondente a tais pagamentos.

Para anular tais pagamentos, criamos recebimentos, nos mesmos valores, nas mesmas datas:

clip_image033

O valor deste fluxo de caixa, quando trazido para data zero, será:

clip_image035

= clip_image037

Agora sim, já transportamos todos os valores para a data zero.

Ficamos com:

clip_image039

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A vantagem desse procedimento que “cria” novos pagamentos é diminuir as contas. Notem que fizemos bem menos contas do que na primeira solução.


Questão 94 (Esaf)

Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

a) R$ 66.131,00

b) R$ 64.708,00

c) R$ 62.927,00

d) R$ 70.240,00

e) R$ 70.140,00

Dados:

clip_image002[4]

clip_image004[4]

Resolução:

O fluxo de caixa original é:

clip_image005

A unidade de tempo está em trimestre.

A data zero corresponde ao dia da compra.

Vamos trazer todos os pagamentos para a data zero, para encontrarmos o valor da casa à vista.

A entrada de R$ 150.000,00 já está na data zero. Não precisa ser transportada.

Vamos transportar o valor de R$ 200.000,00 da data 2 para a data zero. Vamos voltar no tempo dois períodos (dois trimestres). Teremos um desconto. A taxa é de 6% ao trimestre. Ficamos com:

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clip_image009[4]

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Pronto. Já transportamos todos os pagamentos para a data zero. O valor da casa a vista fica:

clip_image013

O valor da casa a vista é de R$ 328.000,00.

E o comprador propõe pagar esta quantia em seis parcelas, sendo a primeira já no ato da compra. As parcelas seriam iguais, sucessivas, espaçadas de 1 trimestre. O novo fluxo de caixa seria:

clip_image015

Para encontramos o valor da parcela (valor de X) vamos trazer todos os pagamentos para a data zero. O valor deste fluxo de caixa na data zero é igual a R$ 328.000,00, que é o valor da casa a vista.

O primeiro pagamento no valor de X, referente à data zero, não precisa ser transportado. Ele já está na data zero. Vamos transportar apenas os demais pagamentos, destacados em amarelo:

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Com o fator de valor atual podemos transportar todos estes 5 pagamentos para a data zero (um trimestre antes do primeiro pagamento).

O valor destes 5 pagamentos na data zero fica:

clip_image019

clip_image021[4]

Pronto. Já temos o valor de todos os seis pagamentos de X reais na data zero. O valor total deste segundo fluxo de caixa na data zero é:

clip_image023[4]

E este valor acima é justamente o preço a vista da casa (=R$ 328.000,00).

clip_image025[4]

clip_image027[4]

Quando nós trocamos o denominador 5,212364 por 5,2, nós aumentamos um pouco o valor de X. Na verdade X é um pouco menor que R$ 63.077.

Gabarito: C.


Questão 95 (Esaf)

O preço a vista de um imóvel é R$ 180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9 % ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:

a) R$ 34.323,00

b) R$ 32.253,00

c) R$ 35.000,00

d) R$ 37.000,00

e) R$ 57.000,00

Dados:

clip_image002[6]

clip_image004[6]

Resolução:

Vamos chamar as parcelas mensais de M. E as parcelas trimestrais de T.

Vamos fazer diagrama de fluxo de caixa só das prestações mensais. O diagrama de fluxo de caixa fica:

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A unidade de tempo está em meses. Considerei que a data zero é a data da compra.

Se trouxermos todos os pagamentos para a data zero, obteremos R$ 90.000 (que corresponde a 50% do valor à vista). A taxa de juros é de 3% ao mês.

Usando o fator de valor atual para n=18 e i=3% conseguimos transportar todos os valores para a data zero (1 mês antes do primeiro pagamento).

O valor de todos esses 18 pagamentos na data zero fica:

clip_image008[4]

clip_image010[4]

E sabemos que este valor acima é igual a R$ 90.000,00.

clip_image012[4]

Aproximando os valores:

clip_image014[4]

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Vamos agora fazer o diagrama de fluxo de caixa das prestações trimestrais.

clip_image018

A unidade de tempo agora está em trimestres. Considerei que a data zero é a data da compra.

Vamos transportar todos os quatro pagamentos iguais, sucessivos e igualmente espaçados para a data zero (1 trimestre antes do primeiro pagamento). Para isso vamos usar o fator de valor atual para n=4 e i=9%.

E o valor desses quatro pagamentos na data zero é:

clip_image008[5]

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E sabemos que este valor acima é de R$ 90.000,00 (=50% do valor à vista).

clip_image022

Aproximando os valores:

clip_image024

clip_image026

Já descobrimos o valor das parcelas mensais (=M) e trimestrais (=T).

A pergunta foi: qual o pagamento ao final do segundo trimestre. Ao final do segundo trimestre está vencendo a segunda parcela T e a sexta parcela M.

Portanto, ao final do segundo trimestre o pagamento será de:

clip_image028[4]

clip_image030[4]

Nossos cálculos estão aproximados.

Gabarito: A.


Observação: consulte as tabelas financeiras disponíveis neste arquivo pdf.

Questão 96 (FCC)

Um investidor deposita, no início de cada mês, o valor de R$ 1.000,00, durante 10 meses, em um banco que remunera a uma taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal. Decide resgatar todo o montante correspondente a esta operação somente no início do 13o mês. O valor deste resgate é

(A) R$ 14.680,00

(B) R$ 13.034,00

(C) R$ 11.607,00

(D) R$ 11.388,00

(E) R$ 10.335,00

Resolução:

Se a taxa nominal é de 24% ao ano, com capitalização mensal, então a taxa efetiva é de 2% ao mês.

Temos dez depósitos sucessivos, de 1.000,00, rendendo a uma taxa de 2% ao mês.

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Queremos saber o valor deste fluxo de caixa na data 13.

Primeira resolução:

Utilizando o fator de acumulação de uma série de capitais, conseguimos transportar todo este fluxo de caixa para a data do último depósito (data 10).

O valor deste fluxo de caixa na data 10 fica:

clip_image003

Consultando a tabela:

clip_image005

Ou seja, todo o fluxo de caixa acima pode ser substituído pelo valor R$ 10.950,00, referente à data 10.

Em seguida, precisamos transportar este valor, de R$ 10.950,00, da data 10 para a data 13.

Estamos avançando 3 meses no tempo. Teremos uma operação de juros compostos.

O montante obtido na data 13 é:

clip_image007[4]

clip_image009[6]

Agora, consultamos a tabela dada, na primeira coluna, que fornece valores de 1,02n. A legenda da tabela chamou isso de fator de acumulação de capital para um capital único.

clip_image011[4]

Gabarito: C

Segunda solução:

Criamos mais depósitos de 1.000,00, indicados em verde:

clip_image012

Repetindo: os depósitos em verde não existem. Eu os adicionei. São depósitos “fictícios”.

Transportando todo o fluxo de caixa para a data do último depósito (data 13):

clip_image014[6]

Mas este valor está incorreto, pois incluiu os depósitos “fictícios”, pintados de verde. Precisamos retirá-los.

Agora vamos calcular apenas o valor dos depósitos destacados em verde, também referente à data 13:

clip_image016[6]

Logo, o montante na data 13 fica:

clip_image018[6]

clip_image020[4]

Consultando a tabela:

clip_image022[4]

clip_image024[4]

Novamente marcamos a alternativa C.

A diferença entre as duas soluções (11.607 e 11.620) se deve à aproximação dos valores constantes da tabela.

Se os valores apresentados fossem exatos, ambas as soluções resultariam em: R$ 11.619,93.

A vantagem da segunda solução, na minha opinião, é que trocamos uma multiplicação por uma subtração, que, em geral, é mais rápida de fazer.


(Questão 97) FCC

Paulo comprou um automóvel em 10 prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de R$ 4.400,00 cada uma, vencendo a primeira 1 mês após a data da compra. A agência de automóveis trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Se Paulo propusesse à agência quitar a dívida em 15 prestações, vencendo também a primeira 1 mês após a data da compra, o valor da prestação seria de

(A) R$ 3.600,00

(B) R$ 3.410,00

(C) R$ 3.360,00

(D)) R$ 3.200,00

(E) R$ 3.140,00

Resolução:

Vamos chamar a data da compra de data 0.

Primeiro fluxo de caixa:

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Segundo fluxo de caixa:

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Vamos escolher a data 0 como data focal.

Para que as duas opções sejam equivalentes, devem apresentar o mesmo valor, quando transportadas para a mesma data focal.

Valor do primeiro fluxo de caixa na data 0:

clip_image028[6]

Valor do segundo fluxo de caixa, na data 0:

clip_image030[6]

Igualando os dois valores (fluxos de caixa equivalentes):

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clip_image032[5]

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Lembrando que o fator de recuperação de capital é o inverso do fator de valor atual:

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Consultando a tabela:

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Gabarito: D


Questão 98 (FCC)

Uma loja oferece a um cliente 2 opções referentes à compra de determinada marca de televisor:

I. À vista, no valor de R$ 4.000,00, sem desconto.

II. R$ 500,00 de entrada mais 9 prestações mensais, iguais e consecutivas à taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira 2 meses após a data da compra.

O valor de cada prestação em (II) que torna os pagamentos das duas opções equivalentes, segundo o critério do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 2% ao mês, é

(A) R$ 428,40

(B) R$ 480,00

(C) R$ 489,60

(D) R$ 490,00

(E) R$ 499,80

Resolução:

Primeira opção de pagamento:

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Segunda opção de pagamento:

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Note que há uma entrada de R$ 500,00 e, depois disso, a primeira prestação vence na data 2, dois meses após a compra.

Para que as duas opções de pagamento sejam equivalentes, elas devem apresentar o mesmo valor, quando transportamos os fluxos de caixa para uma mesma data focal.

Vamos escolher como data focal a data 1.

Primeiro fluxo de caixa:

O pagamento de 4.000,00 está na data 0. Para transportar para a data 1, avançamos 1 mês no tempo.

Valor do primeiro fluxo de caixa, na data focal:

clip_image044

Segundo fluxo de caixa:

Com o fator de valor atual, conseguimos transportar todos os nove pagamentos consecutivos, que ocorrem nas datas 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, para um período antes do primeiro pagamento (data 1).

Foi por isso que, no início da solução, escolhemos a data 1 como data focal. Para podermos usar o fator de valor atual.

Ficamos com:

clip_image046

Além disso, temos que transportar a entrada, que está na data 0, para a data 1.

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Assim, o valor do segundo fluxo de caixa, na data focal, é:

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Igualando os dois fluxos de caixa:

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Gabarito: A


Questão 99 (FCC)

Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a

(A) R$ 10.000,00

(B) R$ 10.500,00

(C) R$ 11.000,00

(D) R$ 11.500,00

(E) R$ 12.000,00

Resolução:

Fluxo de caixa:

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Queremos saber o valor deste fluxo de caixa na data 4 (três anos após o primeiro depósito).

Como a questão não trouxe uma tabela com o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos, teremos que fazer a conta “na mão”.

Transportando o primeiro depósito de X reais, da data 1 para a data 4. Estamos avançando 3 anos:

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Transportando o segundo depósito de X reais, da data 2 para a data 4. Estamos avançando 2 anos:

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Transportando o terceiro depósito de X reais, da data 3 para a data 4. Estamos avançando 1 ano:

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O valor do fluxo de caixa na data 4 fica:

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O exercício indicou que este valor é igual a 43.692,00.

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Gabarito: E


Questão 100 (Cespe)

Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética acerca de porcentagem e matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada.

78. Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e 3,14 como valor aproximado para 1,112, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 12.000,00.

79. Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, sabendo-se que o regime de juros foi o simples, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 9.000,00.

Resolução.

78) Coloquei este exercício para exemplificar o caso em que a banca não fornece diretamente o fator necessário para resolver a questão (no caso, é o fator de acumulação de capital para uma série de pagamentos).

Ela fornece apenas um pedaço da informação. O fator propriamente dito deve ser calculado pelo candidato. Neste tipo de problema, é necessário que o candidato conheça a fórmula do fator.

São 12 depósitos de 500,00 cada um. A taxa de juros é de 10% ao mês. O valor desta série de pagamentos na data do último pagamento é dado por:

clip_image002[8]

Relembrando a fórmula do fator de acumulação de capital:

clip_image004[8]

Assim, o valor da série na data do último pagamento é:

clip_image006[4]

Agora utilizamos a informação dada no enunciado, de que 1,112 = 3,14.

clip_image008[8]

clip_image010[6]

O montante acumulado não é superior a 12.000,00.

Gabarito: errado.

79) Questão muito semelhante à anterior. A única diferença é que agora temos juros simples.

Coloquei esta questão porque são raros os problemas de séries de pagamento uniforme no regime simples. Quando é adotado o regime simples, não podemos usar a fórmula do fator de acumulação de capital, pois ela só serve para o regime composto.

Segue o diagrama de fluxo de caixa:

clip_image011

O primeiro depósito será transportado da data 1 até a data 12. Teremos incidência de juros simples por 11 meses. Seu valor da data 12 será:

clip_image013[4]

O segundo depósito será transportado da data 2 até a data 12. Teremos incidência de juros simples por 10 meses. Seu valor na data 12 será:

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Analogamente, podemos calcular os montantes para todos os demais depósitos.

Eles ficarão assim:

Depósito

Montante

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clip_image019[4]

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10º

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11º

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12º

clip_image039[4]

Somando tudo, teremos o valor do fluxo de caixa na data 12:

clip_image041[4]

Entre parêntesis temos uma soma de uma progressão aritmética de razão 1. Para saber o resultado, somamos o primeiro termo (0) com o último termo (11), multiplicamos por 6 (metade da quantidade de números).

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O montante realmente é maior que R$ 9.000,00.

Gabarito: certo


Questão 101 (Cespe)

Um comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses, negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do novo título será

A inferior a 26.000.

B superior a 26.000 e inferior a 28.000.

C superior a 28.000 e inferior a 29.000.

D superior a 29.000 e inferior a 31.000.

E superior a 31.000.

Resolução.

Na grande maioria das questões de equivalências de capitais, utilizamos juros compostos e descontos racionais compostos. Isto porque o empréstimo de dinheiro geralmente se dá por meio de instituições financeiras, que são autorizadas a cobrar juros compostos. E como o desconto que guarda correspondência com este tipo de juros é o desconto racional composto, ele é utilizado.

Nesta questão, o exercício disse expressamente para usarmos desconto comercial simples.

Só que agora temos um problema: desconto comercial simples não corresponde a juros simples. Por isso, não poderemos transportar grandezas para o futuro (para a direita da linha do tempo). Isto porque não poderemos usar a fórmula de juros simples, pois ela não guarda relação com a fórmula de desconto comercial simples.

Só poderemos transportar os valores para o passado. E para isso usaremos desconto comercial simples, conforme exigência da questão.

Já vimos também que, quando temos regime simples, é a banca quem tem que indicar a data focal. E ela fez isso: a data focal é a data da negociação.

Seja 0 a data da negociação.

Vamos transportar todos os valores para a data 0.

Para tanto, usamos a taxa de 60% ao ano. Como os prazos estão em meses, precisamos achar a taxa equivalente mensal.

No regime simples, basta fazer regra de três.

clip_image002[10]

A taxa é de 5% ao mês.

No primeiro fluxo de caixa, temos um pagamento na data 2, no valor de R$ 23.450,00. Transportando este valor para a data zero, estaremos voltando dois meses no tempo:

clip_image004[10]

No segundo fluxo de caixa, temos um pagamento desconhecido (=X), na data 6 (quatro meses depois do que seria o pagamento original). Vamos voltar este valor no tempo, por 6 meses:

clip_image006[6]

Para que as duas opções sejam equivalentes, os valores dos fluxos de caixa, na data 0, devem ser iguais:

clip_image008[10]

clip_image010[8]

Gabarito: D


Questão 102 (Esaf)

Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc.

a) US$ 1, 000.00

b) US$ 953.53

c) US$ 930.00

d) US$ 920.57

e) US$ 860.00

 

Dados:

– fator de valor atual para n=12 e i=7%:  7,942686.

– fator de valor atual para n=11 e i=7%:  7,498674

Resolução

O país pegou um empréstimo na data de hoje (data zero). O país recebe o dinheiro por meio do lançamento de um bônus de US$ 1.000,00 com doze cupons de US$ 60,00.

Na data zero o país recebe o dinheiro. O valor recebido na data zero é chamado de valor de lançamento do bônus (ou preço de lançamento do bônus).

A cada semestre o país resgata um cupom de US$ 60,00. O país paga US$ 60,00 ao seu credor e resgata o cupom. Ao final dos doze semestres, o país resgata o último cupom e resgata também o bônus, pagando seu valor de face (US$ 1.000,00). Este valor de US$ 1.000,00, que o país tem que resgatar no final do período, é chamado de valor nominal do bônus.

Passa o primeiro semestre e estamos na data 1. O país resgata o primeiro cupom por meio do pagamento de US$ 60,00.

Passa o segundo semestre. Estamos na data 2. O pais resgata o segundo cupom por meio do pagamento de mais US$ 60,00.

E assim por diante.

No décimo primeiro semestre (data 11), o país resgata o décimo primeiro cupom por meio do pagamento de mais US$ 60,00.

Passa mais um semestre e estamos na data 12. O país resgata o último cupom, pagando pela última vez os US$ 60,00. E, também na data 12, paga o valor do bônus, de US$ 1.000,00.

A pergunta é: quanto o país recebeu de empréstimo na data zero?

O fluxo de caixa é:

clip_image002

As setas estão fora de escala. Vamos transportar todos os valores para a data zero. Precisamos saber qual a taxa de juros efetiva.

A taxa nominal é de 14% ao ano. E o exercício não disse qual o período de capitalização. Como todas as operações estão separadas de períodos de 1 semestre, dá para supor que o período de capitalização é semestral. Mas eu acho que não custava nada o enunciado deixar isso bem claro.

E, de fato, esta é a consideração necessária para chegarmos à resposta.

A partir da taxa nominal, podemos achar a taxa efetiva por meio de uma regra de três.

14% corresponde a 2 semestres

i corresponde a 1 semestre

14% —- 2

i —– 1

Multiplicando cruzado:

clip_image004[12]

A taxa efetiva é de 7% ao semestre.

Sabendo a taxa efetiva, podemos começar a transportar os valores. Vamos começar pelos pagamentos destacados em amarelo da figura abaixo:

clip_image006[4]

São doze pagamentos iguais a 60,00. Queremos transportar todos eles para a data zero, 1 semestre antes do primeiro pagamento. Para isso usamos o fator de valor atual para n = 12 e i = 7%.

O valor desses doze pagamentos na data zero fica:

clip_image008[12]

clip_image010[10]

E ainda falta transportar o pagamento de 1.000,00. Queremos transportá-lo para a esquerda, voltando no tempo doze semestres. Teremos um desconto.

clip_image012[6]

Esta conta é meio chata de fazer. Para fugir da divisão, podemos criar mais 11 pagamentos de 1.000,00 (nas datas de 1 a 11) e, em seguida, excluí-los. Com isso, teremos:

clip_image014[8]

Fazer esta alteração é bem vantajoso. Trocamos uma divisão complicada por uma multiplicação por 1.000 (onde basta andar com a vírgula).

E o valor total dos pagamentos na data zero é:

clip_image016[8]

Gabarito: D

Este valor de 920,57 é o valor de lançamento do bônus. É o valor que o país consegue captar quando ele lança o bônus.

Geralmente este valor vem expresso na forma de um deságio (ou ágio) sobre o valor nominal do bônus.

Como o valor nominal do bônus foi de 1.000,00 e o bônus foi lançado por 920,57, dizemos que houve um deságio de 79,43.


Questão 103 (Esaf)

Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencíveis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000,00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar o último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de registro da operação, de intermediação, etc.

a) 16%

b) 14%

c) 12%

d) 10%

e) 8%

Dados:

clip_image002[12]

clip_image004[14]

clip_image006[8]

clip_image008[14]

Resolução:

O bônus foi lançado com ágio de 7,72% sobre seu valor nominal (ou seja, sobre US$ 1.000,00).

O valor nominal é de US$ 1.000,00. O ágio foi de:

clip_image010[12]

Ou seja, o bônus foi lançado por US$ 1.072,00. Este foi o valor que o país conseguiu captar de empréstimo. Este valor foi recebido na data zero.

Na data 1, seis meses depois, este país paga o primeiro cupom. Na data 2 o país paga o segundo cupom. E assim por diante até a data 10 quando é pago o último cupom mais o valor nominal do bônus.

O fluxo de caixa é:

clip_image012[4]

Vamos transportar todos esses valores para a data zero. Vamos começar pelos 10 pagamentos iguais de 60,00. Ainda não podemos consultar a tabela II porque não sabemos qual a taxa.

O valor dos dez pagamentos de 60,00 na data zero fica:

clip_image014[10]clip_image016[10]

Agora vamos transportar o valor de 1.000,00 da data dez para a data zero. Estamos voltando no tempo dez semestres. Haverá um desconto.

clip_image018[8]clip_image020[6]clip_image022[6]

Para fugir desta divisão, podemos criar 9 pagamentos de 1.000,00 e, em seguida, excluí-los. Ficamos com:

clip_image024[6]

E o valor total dos pagamentos na data zero é:

clip_image026[4]clip_image028[8]

E sabemos que este valor é igual a 1.072,00.

clip_image026[5]clip_image028[9]= 1.072

Para achar a taxa de juros praticada, precisamos resolver esta equação aí de cima.

Só que esta equação dá muito trabalho para resolver.

É melhor a gente ver primeiro as alternativas.

As alternativas indicam taxas ao ano nominais. Para obtermos as respectivas taxas efetivas semestrais, precisamos aplicar a regra de três.

A taxa nominal de 16% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 8% ao semestre.

A taxa nominal de 14% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 7% ao semestre.

A taxa nominal de 12% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 6% ao semestre.

A taxa nominal de 10% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 5% ao semestre.

A taxa nominal de 8% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 4% ao semestre.

Por qual delas começar?

Basta pensar o seguinte.

Vamos imaginar a situação em que o bônus é lançado exatamente pelo seu valor nominal.

Ou seja, vamos imaginar a situação em que o bônus é lançado por 1.000,00.

Nesta situação, a taxa de juros é exatamente igual à divisão entre o valor do cupom e o valor do bônus. A taxa de juros fica:

clip_image032[8]

Veja como tudo se encaixaria.

O país pega emprestado 1.000,00.

Passa o primeiro semestre e a dívida já está em 1.060,00 (aumentou 6% de 1.000). Desta dívida, o país paga só valor dos juros (=60,00). E a dívida volta a 1.000,00.

Mas o país ainda continua com os 1.000,00 que pegou emprestado.

Passa o segundo semestre. Novos juros de 6%. Ao final do segundo semestre a dívida atinge novamente o montante de 1.060,00. E o país paga somente o valor dos juros (=60,00). A dívida volta a 1.000,00.

Mas o país ainda continua com os 1.000,00 que pegou emprestado.

Passa o terceiro semestre. Novos juros de 6%. E tudo se repete.

Ao final do nono semestre, após o pagamento dos juros, o país volta a dever 1.000,00.

Passa mais um semestre. Teremos novos juros de 6%.

No final do décimo semestre a dívida está em 1.060,00. O país novamente paga o valor dos juros (=60,00, referente ao último cupom). E paga também os 1.000,00 que tinha pegado emprestado, nada mais devendo.

Se esta fosse a situação do problema, ou seja, se o bônus tivesse sido lançado sem ágio e sem deságio, a taxa de juros seria de 6%. Vamos tomar esta situação como base para analisarmos as alternativas.

Como o bônus foi lançado com ágio, isto significa que o país conseguiu pegar mais que 1.000,00 emprestado.

Comparando com a situação “base”, pegamos mais dinheiro emprestado, mantendo os mesmos pagamentos. Isto significa que estamos suportando uma taxa de juros menor que 6%.

Com isso, concluímos que a resposta do exercício só pode ser a letra D ou a letra E (respectivamente 5% e 4%).

Vamos testar a taxa de 4%.

clip_image034[4]

clip_image036[4]

Não chegamos aos US$ 1.072,00. Precisamos aumentar um pouco a taxa de juros para diminuir o valor atual.

Conclusão: a resposta é 5%.

Vamos tentar a taxa de 5%. Consultando a tabela:

clip_image038[4]

clip_image040[4]

E chegamos bem próximo aos 1.072,00. A taxa efetiva seria bem próxima de 5% ao semestre e a taxa nominal seria próxima de 10% ao ano.

Gabarito: D


Questão 104 (Cespe)

Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de cupons semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização semestral, durante 10 anos, findos os quais deva ser restituído ao titular o valor nominal de R$ 1.000,00. Se, depois de dois anos do lançamento do título, a taxa de juros de mercado passar a ser de 12% ao ano, com capitalização semestral, o valor de comercialização do título passará a ser inferior a R$ 1.000,00.

Resolução

Títulos que fornecem pagamentos de cupons funcionam da seguinte forma.

Quem está precisando do dinheiro (o tomador) lança um título, que simboliza que ele pagará ao credor, em uma determinada data, o valor do título.

O valor que o devedor deve pagar ao credor no vencimento do título é o valor nominal (no caso, o valor nominal é de R$ 1.000,00).

O valor que o credor paga pelo título é o valor de face. O exercício não informou o valor de face. Só podemos supor que é igual ao valor nominal (R$ 1.000,00).

Resumindo tudo: nesta situação, em que o valor de face é igual ao valor nominal, o credor está “emprestando” R$ 1.000,00 ao tomador para, 10 anos depois, receber de volta os R$ 1.000,00.

Aí você pergunta: mas o que é que o credor ganha com isso?

É que, a cada seis meses, incidem juros de 8% (taxa nominal de 16% ao ano dividida por 2, pois em um ano temos dois semestres).

Assim, passados os primeiros seis meses, teremos juros de:

clip_image002[14]

O valor dos juros serão pagos já ao final do primeiro semestre, fazendo com que a dívida volte a ser de 1.000,00.

Passa o segundo semestre e teremos mais juros de R$ 80,00. Ao final do segundo semestre, o devedor paga os juros, fazendo com que a dívida volte a ser de R$ 1.000,00.

E isso prossegue, até o vencimento do título, quando deve ser paga a última parcela de juros (R$ 80,00), somada ao valor nominal do título, zerando a dívida.

Este é o caso mais simples de lançamento do título. Existem outros casos em que o título pode ser lançado com ágio ou deságio (valor de lançamento diferente do valor de face).

Ok, então, quando do lançamento do título, o fluxo de caixa do ponto de vista do devedor era (a unidade de tempo está em semestres):

clip_image003

Na data 0 ele recebe os R$ 1.000,00. Depois passa dez anos pagando juros semestrais de R$ 80,00. Na data 20 temos duas setas, simbolizando dois pagamentos: os 80,00 de juros e os 1.000,00 do valor nominal.

O título será negociado na data 4 (dois anos após o lançamento).

Vamos calcular o valor do fluxo de caixa nesta data. Detalhe: para quem for comprar o título só interessam os pagamentos que ainda vão ocorrer (os pagamentos passados não mais interessam, pois foram feitos ao antigo detentor do título).

Ou seja, em síntese, temos que transportar os pagamentos de 5 a 20 para a data focal 4. Em outras palavras, vamos calcular o valor da dívida na data 4.

Se fosse para usar a taxa inicialmente contratada (8% ao semestre), já saberíamos o valor da dívida nesta data. Já vimos que, em qualquer semestre, a dívida sempre volta a ser de R$ 1.000,00.

clip_image004

Contudo, a pessoa que vai comprar o título agora, na data 4, não mais deve levar em conta a taxa de 8% ao semestre.

Para tanto, usamos a nova taxa praticada no mercado: 6% ao semestre (correspondente à taxa nominal de 12% ao ano).

Ou seja, precisaríamos calcular o valor do fluxo de caixa acima indicado, na data 4, com a taxa de 6% ao semestre.

Cada pagamento será trazido para o passado (vamos para a esquerda na linha do tempo).

Para fazer isso, temos um desconto racional composto. Ou seja, vamos dividir cada pagamento por clip_image006[10].

Quanto menor o valor da taxa, menor será o valor de clip_image008[16] Ou seja, estamos dividindo por um valor menor.

Se diminuímos o denominador, nós aumentamos o quociente.

Em síntese: diminuir a taxa aumenta o valor atual.

Se, com a taxa de 8%, o valor atual era 1.000,00, podemos concluir que diminuindo a taxa para 6%, o valor atual será aumentado.

O título valerá mais de 1.000,00.

O exercício inteiro poderia ser resolvido de forma bem simples e direta, com o seguinte pensamento. Eu tenho um título que remunera a 8% ao semestre, quando o mercado remunera a 6%. Então eu só vou me desfazer dele se puder cobrar caro, concordam? O título vale mais do que valia inicialmente, mais que R$ 1.000,00, pelo simples fato de, agora, ele render mais que o padrão do mercado.

Gabarito: errado


Questão 105 (Esaf)

Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.

a) R$ 94.608,00

b) R$ 88.149,00

c) R$ 82.265,00

d) R$ 72.000,00

e) R$ 58.249,00

Dados:

clip_image002[16]

clip_image004[16]

clip_image006[12]

 

Resolução

O fluxo de caixa inicial é:

clip_image008

E queremos levar todos estes pagamentos para a data do último pagamento (data 18). Na verdade não é bem um pagamento. São aplicações em um investimento. Mas tudo bem. Continuam sendo desembolsos de dinheiro.

É para isso que serve o fator de acumulação de capital para uma série de pagamentos.

Já podemos consultar esta tabela diretamente?

Não, ainda não.

Para usarmos esta tabela, os pagamentos têm que ser iguais, sucessivos, igualmente espaçados. Mas esses pagamentos não são iguais. Temos pagamentos de R$ 2.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00.

O que vamos fazer?

Vamos adaptar a sequência de pagamentos.

Vamos dividir em partes.

Olhem os pagamentos das datas de 7 a 12. São pagamentos de R$ 4.000,00. Pois bem, vamos supor que cada um desses pagamentos é, na verdade, composto por dois pagamentos de R$ 2.000,00.

Olhem agora para os pagamentos das datas de 13 a 18. São pagamentos de R$ 6.000,00. Vamos supor que cada um desses pagamentos é composto por três pagamentos de R$ 2.000,00.

Ficaríamos com o seguinte fluxo de caixa:

clip_image010

Pronto. Agora se olharmos apenas as setas vermelhas destacadas em amarelo, temos pagamentos de R$ 2.000,00.

clip_image012[6]

São pagamentos iguais, sucessivos e igualmente espaçados.

Podemos usar a tabela de fator de acumulação de capital.

O valor da série de 18 pagamentos iguais de R$ 2.000,00, na data 18, é de:

clip_image014[12]

clip_image016[12]

Agora vamos olhar para os pagamentos destacados em amarelo.

clip_image018[4]

Temos outra série de pagamentos iguais (todos iguais a R$ 2.000,00). São pagamentos sucessivos e igualmente espaçados. Podemos usar a tabela para vermos qual o valor desta série de pagamentos na data 18 (data do último pagamento).

O valor destes 12 pagamentos de R$ 2.000,00 na data 18 fica:
clip_image014[13]

clip_image020[8]

E, por fim, vamos focar nos pagamentos destacados em amarelo na figura abaixo:

clip_image022

São seis pagamentos iguais a R$ 2.000,00. Podemos usar a tabela para ver qual o valor desta série de pagamentos na data 18 (data do último pagamento).

O o valor desta série de seis pagamentos de R$ 2.000,00 na data 18 fica:

clip_image014[14]

clip_image024[8]

Pronto. Já levamos todos os pagamentos para a data 18. Podemos somar todos os valores obtidos que teremos o montante na data 18 que substitui todo o fluxo de caixa inicial.

O montante fica:

clip_image026[8]

Colocando o 2.000 em evidência:

clip_image028[12]

Aproximando os valores:

clip_image030[8]

clip_image032[10]

Gabarito: B


Questão 106 (FCC)

Uma empresa apurou durante um ano a receita líquida de R$ 100.000,00. Considerando que esta receita foi uniformemente distribuída ao longo deste ano, calculou-se o valor presente P correspondente no início do ano, utilizando uma taxa instantânea de juros de 16% ao ano e adotando nos cálculos que clip_image002[18], sendo ln a representação do logaritmo neperiano. O valor encontrado para P foi de

(A) R$ 92.770,00

(B) R$ 93.750,00

(C) R$ 94.000,00

(D) R$ 94.275,00

(E) R$ 96.117,00

Resolução:

Antes de realmente iniciarmos a solução da questão, vamos relembrar um pouco sobre logaritmos.

Sejam a, b e c três números tais que:

clip_image004[18]

Neste caso, dizemos que o logaritmo de c, na base a, é igual a b. Escrevemos assim:

clip_image006[14]

Exemplo:

clip_image008[18]

Para calcularmos este logaritmo, basta pensar assim:

2 elevado a qual número resulta em 16?

Resposta: 4.

clip_image010[14]

Logo:

clip_image012[8]

clip_image013

Acima, dizemos que 2 é a base, 16 é o logartimando e 4 é o logaritmo.

Quando a base do logaritmo é o número de Euler, é comum representarmos o logaritmo por “ln”. Estas letras são as iniciais de “logaritmo neperiano”, que é o nome dado ao logaritmo com base igual ao número de Euler.

Lembrando, o número de Euler vale aproximadamente 2,7.

O exercício nos informou que:

clip_image015[4]

Multiplicando os dois lados da igualdade por -1:

clip_image017[4]

Logo:

clip_image019[6]

Agora sim, vamos à questão da FCC!

Se fossem 12 recebimentos de X reais, cada pagamento seria igual a:

clip_image021[8]

Como os recebimentos são igualmente espaçados, eles seriam mensais.

Além disso, se a taxa de 16% ao ano tiver capitalização mensal, a taxa efetiva seria de (16/12)% ao mês.

Logo, aplicando a fórmula do fator de valor atual de uma série de pagamentos, o valor presente P seria:

clip_image023[8]

clip_image025[8]

Caso fossem 365 recebimentos (um por dia) e a capitalização fosse diária, P seria igual a:

clip_image027[8]

Genericamente, se forem n recebimentos igualmente espaçados, e a capitalização ocorrer n vezes em um ano, teremos:

clip_image029[4]

Precisamos descobrir o que ocorre com P, quando n tende ao infinito (capitalização contínua e recebimentos instantâneos).

Quando temos uma divisão de fração, podemos manter a fração do numerador e inverter a fração do denominador, que passará a multiplicar.

Exemplo:

clip_image031[4]

Aplicando este resultado à expressão que fornece o valor de P, temos:

clip_image033[6]

Simplificando n com n:

clip_image035[6]

Logo:

clip_image037[6]

Vamos agora nos concentrar na parcela:

clip_image039[6]

Vimos na aula passada que, quando n tende ao infinito, este tipo de expressão tende para o número:

clip_image041[6]

Substituindo este resultado em II:

clip_image043[4]

clip_image045[4]

Substituindo o resultado obtido na equação I:

clip_image047

clip_image049

Gabarito: B


Questão 107 (Universa)

Um aluno de finanças fez as seguintes considerações acerca da compra de um eletrodoméstico em 12 prestações iguais, com uma de entrada. Julgue as situações a seguir e assinale a alternativa correta.

I A sequência de pagamentos é uniforme e temporária.

II A sequência de pagamentos é diferida e antecipada.

III A sequência de pagamentos pode ser representada graficamente por

(A) Nenhum item está certo.

(B) Apenas os itens I e II estão certos.

(C) Apenas os itens I e III estão certos.

(D) Apenas os itens II e III estão certos.

(E) Todos os itens estão certos.

Resolução.

A renda é uniforme, pois as prestações são iguais. É temporária, pois são 12 prestações (número finito).

A renda não é diferida, pois não há período de carência.

A renda é antecipada, pois há uma entrada.

Por fim, o fluxo de caixa apresentado está correto.

Gabarito: C

One thought on “Resolução das questões sobre séries de pagamento

  1. Uma duplicata no valor nominal de R$ 500,00 foi descontada 45 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto comercial de 3%a.m. Qual o valor líquido produzido ? Qual a taxa mensal de juros simples que o cliente está pagando?

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