Distribuição de Poisson – Anatel 2009

19 Sep

Hoje resolvo uma interessante questão do Cespe, concurso da Anatel 2009. Me deparei com ela enquanto estava comentando questões no TECConcursos, e achei bem interessante por explorar a distribuição de Poisson de um jeito diferente.


(Cespe)

Uma operadora de telefones pôs em certo local três funcionários para atender seus clientes. O número de clientes que chegam a esse local por minuto, X, segue uma distribuição dada por

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em que clip_image005é uma constante e k = 0, 1, 2, 3, ….

Se um cliente encontra os três atendentes ocupados, ele entra em uma fila única. Não há limites para o tamanho da fila. O tempo gasto por um atendente para cada cliente (isto é, o tempo de atendimento em minutos, T) segue uma distribuição contínua cuja função de densidade é dada por

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Em que t>0 e exp{.}representa a função exponencial.
Considerando as informações acima, que descrevem uma fila baseada no processo de vida e morte com taxas de chegada e de serviço constantes com três servidores, julgue o item subsequente.
A mediana e a média de X são iguais.


Resolução:

Primeiro calculamos o valor declip_image009. Somando os valores das probabilidades para todos os valores de X, obtemos 1:

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O somatório acima corresponde ao número de Euler:

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E é esse o resultado legal. O fato de gama ser igual ao inverso do núero de euler faz com que X, no fundo, seja uma distribuição de Poisson. Só que estava disfarçada. O disfarce era justamente a constante gama, desconhecida.

Neste momento, é bastante útil lembrarmos de como é a fórmula da probabilidade relativa à Poisson. Ela é do tipo:

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Se fizermos clip_image021 chegamos justamente à distribuição de X, vejam:

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E agora tudo fica mais tranquilo. Determinar a média de X é fácil. Basta lembrar que, na distribuição de Poisson, a média corresponde a clip_image025 que já sabemos valer 1.

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Para determinar a mediana, precisamos calcular a função distribuição de probabilidade acumulada (FDP).

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Logo:

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Vejam que a função distribuição de probabilidade (FDP) valia aproximadamente 0,37 para X = 0, e salta para cerca de 0,74 em X =1. Logo, ela cruza a barreira dos 50% justamente em X = 1. Portanto, a mediana vale 1.
Concluindo, a média e a mediana valem 1.
Item certo

6 thoughts on “Distribuição de Poisson – Anatel 2009

  1. Olá!
    Vc teria a questão para me enviar? Assim posso te responder de forma mais adequada. Se tiver o pdf, basta enviar ao meu e-mail (vitor@tecconcursos.com.br). Se tiver o link da prova, basta postar aqui mesmo. Abraços!

  2. Olá. Me deparei com uma questao de Poisson da Cesgranrio na qual o nao foi dado o valor e^-x. Procurei na internet uma maneira de realizar a questao durante uma prova mas sem sucesso.
    Voce poderia explicar como poderia encontrar o valor de e^-x durante a prova ( sem calculadora..rs)

    Agradeco antecipadamente

  3. Vitor,
    Item 1: Perfeitamente respondido! Obrigado.
    Item 2: Olhando sua resolução, parece que X só pode assumir 0 e 1. Mas acho que sei o motivo: observe que, na figura que você postou, a probabilidade P(X=0) dá 0,7, quando o correto me parece ser 0,37. Seria coerente com a figura seguinte, em que você faz P(X=0) + P(X=1) e encontra 0,37 + 0,37 = 0,74.

  4. Olá!
    1) Isso aí, vc está certo, esta é uma das muitas formas de expressar o número de euler
    1.1) essa questão específica foi tirada de um cargo de formação específica. Para concursos de formação geral é difícil cair esse tipo de questão.

    Num concurso de formação geral, já viria no enunciado a distribuição de poisson no formato "padrão" dela, sem "disfarce".

    É importante ainda dizer que esse item que eu trouxe era apenas um de uma série de itens tratando do mesmo enunciado. Vários dos itens subsequentes tratam de teoria das filas – tamanho médio da fila, tempo médio de espera, etc. Esse tipo de matéria não é cobrado em concursos de formação geral.

    Então, só para deixar claro:
    – questões sobre distribuição de Poisson são muito comuns, caem mesmo em concursos de formação geral
    – a forma em particular como esta questão explorou a poisson é que não é característica de concursos de formação geral.
    – as questões subsequentes da mesma prova, focadas nesse mesmo enunciado, são de teoria das filas, assunto só cobrado em provas que exigem formação específica.

    2) X pode assumir qualquer valor natural – 0, 1, 2, 3, …

  5. Vitor,
    1) Aquele somatório ser igual ao número de Euler é uma das muitas definições do número de Euler?
    1.1) Isso costuma cair em que nível de concurso? Geral, área específica, para estatísticos/matemáticos…?
    2) Por que X só pode ser 0 ou 1?

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