Questões 17 e 18 – ISS São José dos Campos

23 Nov

Hoje fechamos as questões do concurso do ISS São José dos Campos, elaboradas pela Vunesp, e que foram solicitadas por um de meus alunos.

Vamos lá!


17. Gabriel é pai de Lucas, e a soma das idades dos dois é 106 anos. Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio. Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje. Hoje, a soma das idades de Caio e Lucas, em anos, vale
(A) 47.
(B) 49.
(C) 51.
(D) 53.
(E) 55.

Resolução:

O enunciado se refere ao presente e ao futuro. Vamos analisá-los separadamente.

Antes disso, é interessante quebrar o enunciado em partes:

  1. a soma das idades de Gabriel e Lucas é 106 anos
  2. Quando Lucas tiver a idade que seu pai tem hoje, ele terá o dobro da idade do seu filho Caio.
  3. Nessa ocasião, a idade de Caio será 7 anos a menos que a idade de seu pai hoje.

Presente

Sabemos que Gabriel é pai de Lucas. E Lucas é pai de Caio.

Gabriel > Lucas > Caio

Hoje Gabriel tem x anos. Foi dito que a soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos (informação 1). Então a idade de Lucas é dada por:

atec01

Futuro

No futuro, Caio terá 7 anos a menos que a idade que seu pai tem hoje (informação 3). Logo, sua idade será igual a:

atec02

Nessa mesma data, a idade de Lucas será o dobro da idade de Caio (informação 2) . Idade de Lucas no futuro:

atec03

Nessa mesma data, a informação 2 nos diz que a idade de Lucas, acima calculada, será igual à idade de Gabriel tem hoje (x):

atec04

atec05

atec06

Presente

Voltando ao presente. Sabemos que Gabriel tem 66 anos. A soma das idades de Lucas e Gabriel é 106 anos. Assim calculamos a idade de Lucas:

atec07

Lucas tem 40 anos hoje.

Futuro

Analisando novamente o futuro, temos o seguinte. Quando Lucas tiver a idade de seu pai, ou seja, quando ele tiver 66 anos, já terão se passado 66 – 40 = 26 anos.

Nesta data, Caio terá 7 anos a menos do que seu pai tem hoje, ou seja, 40 – 7 = 33 anos.


Presente

Se em 26 anos Caio terá 33 anos, então hoje ele tem:

atec10

Somando as idades de Caio (7 anos) e Lucas (40) anos, chegamos aos 47 anos.

Gabarito: A

18. Um número é classificado como quadrado perfeito se sua raiz quadrada for um número inteiro. Beatriz e Juliana estão fazendo um jogo em que, a partir de um número inteiro e positivo que elas sorteiam, a primeira a jogar subtrai um quadrado perfeito do número sorteado. Se o resultado dessa subtração for diferente de zero, a segunda a jogar subtrai um quadrado perfeito do resultado anterior e, a partir daí, elas se alternam subtraindo quadrados perfeitos dos resultados anteriores. Vence o jogo aquela que conseguir obter resultado zero na sua vez de subtrair. No jogo, é proibido subtrair o número zero. Uma rodada é perfeita se a jogadora vencedora sempre subtrai um número que não possibilite à adversária chance de vitória. Se o número inicial de uma rodada é 50, e Juliana é a primeira a jogar, o primeiro número que ela deverá subtrair, de modo a fazer uma rodada perfeita, é
(A) 9.
(B) 16.
(C) 25.
(D) 36.
(E) 49.

Resolução

Vamos por eliminação, começando das alternativas mais fáceis.

Se Juliana subtrair 49 (letra E), deixará resultado 50 – 49 = 1. Beatriz então faz 1 – 1 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra E está descartada, pois Juliana está permitindo a vitória de Beatriz.

Se Juliana subtrair 25 (letra C), deixará resultado 50 – 25 = 25. Beatriz então faz 25 – 25 = 0, e ganha o jogo. Logo, a letra C também está descartada.

As letras C e E foram as mais fáceis, pois Beatriz ganharia em um único passo.

Vamos agora para a letra D, que é um pouco mais complicadinha.

Se Juliana subtrair 36 (letra D), deixará resultado 50 – 36 = 14. Aqui Beatriz ganha, a partir da seguinte estratégia:
  • Beatriz subtrai 9, deixando 14 – 9 = 5
  • Juliana só poderá subtrair 1 ou 4.
    • se subtrair 1, deixa resultado 4 para Beatriz e Beatriz vence. Basta que subtraia 4 – 4 = 0
    • se subtrair 4, deixa resultado 1 para Beatriz e Beatriz vence também. Basta fazer 1 – 1 = 0.

Assim, a letra D está descartada.

A letra “D” nos mostrou um resultado bastante interessante: quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vencerá o jogo.

Aproveitando esse conhecimento, analisamos a letra A. Se Juliana subtrai 9, deixa resultado 50 – 9 = 41. Beatriz então subtrai 36, deixando 41 – 36 = 5. Opa!!! Resultado 5. Beatriz já garante a vitória, pois acabamos de ver que quem deixa o resultado 5 ganha. A letra “A” também está descartada.

Assim, já descartamos as letras A, C, D e E, pois em todas elas Beatriz consegue vencer. Por exclusão, marcamos letra B.

Gabarito: B


Na hora da prova o ideal é marcar a letra B por exclusão. Pois ela é mais demorada de ser analisada.

Em todo caso, como não estamos na prova, dá para gastar um tempinho analisando a tal da letra B.

Primeira coisa: a letra B pode ser analisada de forma similar à letra D, mas vai dar mais trabalho, pois teremos que ir abrindo num número maior de casos.

Vamos então ver outra estratégia possível para analisar a letra B, ok? Daí você fica com a que melhor se identificar.

Antes de efetivamente entrar na letra B, vamos relembrar um pouco do que aprendemos na letra D.

Na letra D vimos que quem conseguir deixar resultado 5 necessariamente vence.

Portanto, quem deixar resultado 5 + 1 = 6, necessariamente perde. Oras, se eu deixo 6, você vai e faz 6 – 1 = 5. Você deixou resultado 5 e com isso venceu.

Pelo mesmo raciocínio concluímos que necessariamente perde quem deixar:

  • 5+1=6
  • 5+4=9
  • 5+9=14
  • 5+16=21
  • 5+25=30
  • 5+36=41

Vamos anotar esses resultados:

  • Números que farão vencer: 5
  • Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41

Bom, veja também que, se eu deixar o resultado 2, eu necessariamente venço. Pois você terá que deixar 2 – 1 = 1. E eu vou e termino: 1 – 1 = 0. Atualizando:

  • Números que farão vencer: 2, 5
  • Números que farão perder: 6, 9, 14, 21, 30, 41

Repetindo o raciocínio feito acima, somando 2 com todos os demais números quadrados perfeitos, chegamos a mais números que fazem perder: 3, 6, 11, 18, 27, 38.

Atualizando a listagem:

  • Números que farão vencer: 2, 5
  • Números que farão perder: 3, 6, 9, 11, 14, 18, 21, 27, 30, 38, 41

Todos os quadrados perfeitos também nos fazem perder. Oras, se eu deixo o resultado 16, você vai e faz 16 – 16 = 0.

Atualizando:

  • Números que farão vencer: 2, 5
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 25, 27, 30, 36, 38, 41

Entre os primeiros naturais, todos já aparecem na lista, a exceção do 7. Vamos analisá-lo.
Se eu deixo o 7, você pode fazer:

  • 7-1 = 6. Você perde (pois o 6 está na lista dos que fazem perder)
  • 7 – 4 = 3. Você perde (pois o 3 está na lista dos que fazem perder)

Logo, o 7 sempre me faz vencer. Assim, o 7 entra na lista dos que fazem vencer. E, consequentemente, os números 8, 11, 16, 23, 32 e 43 entram na lista dos que fazem perder.

  • Números que farão vencer: 2, 5, 7
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 36, 38, 41, 43

Entre os primeiros naturais, o 10 ainda não apareceu na listagem. Se eu deixo resultado 10, você pode fazer:

  • 10 – 1 = 9 (você perde)
  • 10 – 4 = 6 (você perde)
  • 10 – 9 = 1 (você perde)

Logo, o 10 me faz vencer. Consequentemente, os números 11, 14, 19, 26, 35 e 46 fazem perder.

  • Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 35, 36, 38, 41, 43, 46

Com o mesmo raciocínio, concluímos que o 12 faz vencer. Logo, fazem perder 13, 16, 21, 28, 37, 48

  • Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 41, 43, 46, 48

Com o mesmo raciocínio, concluímos que o 15 faz vencer. Logo, fazem perder 16, 19, 24, 31, 40

  • Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 46, 48

Vejam que faltam poucos números. Já podemos desconfiar que os poucos que faltam são os que fazem vencer. O primeiro que está faltando é o 17. Se você testar, verá que ele faz vencer. Oras, se eu deixo 17, você pode fazer 17 – 1 = 16 (perde), ou 17 – 4 = 13 (perde), ou 17 – 9 = 8 (perde) ou 17 – 16 = 3 (perde).

Se o 17 faz vencer, então fazem perder: 18, 21, 26, 33, 42

  • Números que farão vencer: 2, 5, 7, 10, 12, 15, 17
  • Números que farão perder: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 42, 43, 46, 48.

Bom, vamos parar com essa análise e vamos agora direto para o que interessa.

Na letra B, Juliana faz 50 – 16 = 34.

O 34 não está na lista dos que fazem perder. Já podemos suspeitar que ele faz vencer, ou seja, que ele garante a vitória de Juliana.

Vamos confirmar?

Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 – 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:

  • Subtrai 25, deixando resultado 9. Esse resultado a faz perder (veja que o 9 está na lista dos que fazem perder)
  • Subtrai 16, deixando resultado 18. Este resultado também a faz perder.
  • Subtrai 9, deixando resultado 25. Este resultado também a faz perder.
  • Subtrai 4, deixando resultado 30. Este resultado também a faz perder
  • Subtrai 1, deixando resultado 33. Este resultado também a faz perder

Logo, qualquer que seja a ação de Beatriz, ela perde. Ou seja, a estratégia de Juliana, de deixar o número 34, certamente a faz vencer.

Gabarito: B


Só por curiosidade, a análise da letra B de forma similar ao que fizemos para as demais alternativas seria assim.
Se Juliana subtrai 16, deixa resultado 50 – 16 = 34. Beatriz tem então as seguintes opções:
  • Subtrai 25, deixando resultado 9. Juliana então faz 9 – 9 = 0  e ganha.
  • Subtrai 16, deixando resultado 18. Juliana faz 18 – 16 = 2. Beatriz terá que fazer 2 – 1 = 1. Juliana faz 1 – 1 = 0 e vence
  • Subtrai 9, deixando resultado 25. Juliana faz 25 – 25 = 0 e ganha.
  • Subtrai 4, deixando resultado 30. Juliana faz 30 – 25 = 5. E já vimos na letra D que quem deixa resultado 5 ganha o jogo.
  • Subtrai 1, deixando resultado 33. Juliana faz 33 – 16= 17. Beatriz tem as seguintes opções:
    • fazer 17 – 16 = 1. Juliana faz 1 – 1 = 0 e vence
    • fazer 17 – 9 = 8. Juliana faz 8 – 1 = 7. Beatriz então pode:
      • fazer 7 – 4 = 3. Juliana faz 3 – 1 = 2. Beatriz faz 2 – 1 =1. Juliana faz 1 -1 = 0 e vence
      • fazer 7 – 1 = 6. Juliana faz 6 – 1 = 5 e vence.
    • fazer 17 – 4 = 13. Juliana faz 13 – 1 = 12. Beatriz então pode fazer:
      • 12 – 1 = 11. Juliana faz 11 – 4 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
      • 12 – 4 = 8. Juliana faz 8 – 1 = 7. E já vimos acima que quando Juliana deixa 7 ela vence
      • 12 – 9 = 3. Juliana faz 3 – 1 = 2. Beatriz faz 2 – 1 = 1. Juliana faz 1 – 1 = 0 e vence
    • fazer 17 – 1 = 16. Juliana faz 16 – 16 = 0 e vence

Novamente, gabarito letra B.

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