Petrbrás 2014–parte 1

24 Dec

Olá pessoal!

Hoje inicio a resolução de uma série de questões da prova da Petrobrás, solicitada pelo César Goes. O concurso foi organizado pela Cesgranrio.

A série inicia com a questão 22 da prova:


Seja f: [a,b]→R, onde a e b são números reais positivos com a < b, e g: [A,B]→R, tal que g(x) = a + b . f(x – a). Se A é o menor número real para o qual a função g pode ser definida, e B é o maior número real para que g esteja definida, então o intervalo [A,B] será igual a

(A) [0, b -a]

(B) [a, b]

(C) [a, a + b]

(D) [2a, b -a]

(E) [2a, a + b]

Resolução:

A função g é dada por:

 

$$g(x) = a+b \times f(x-a)$$

Assim, fazendo x = k:

$$g(k) = a+b \times f(k-a)$$

Na verdade a gente não precisaria usar “k”, daria para usar “x” mesmo. Só estou usando “k” porque acho que confunde menos.

O valor da função “g” neste ponto “k” depende de:

  • · “a”, que é uma constante real positiva
  • · “b”, que é outra constante real positiva
  • · $$f(k-a)$$

Deste modo, g(k) só vai existir se também existir f(k-a).

Já sabemos que a função “f” está definida no intervalo de “a” até “b”.

Assim, f(k-a) só existe se k-a estiver no intervalo de “a” até “b”:

$$a \le k – a \le b $$

$$2a \le k \le b+a$$

Ou seja, os valores extremos para os quais a função “g” está definida são 2a e b+a. Isso está expresso na alternativa E, gabarito da questão.


Agora vamos para a questão 23 da mesma prova:

Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões

$$8^p=3$$

$$3^q=5$$

Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e disse ainda que a resposta à pergunta era dada por

$$3pq \over 1+3pq$$

Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor?

(A) log 8

(B) log 5

(C) log 3

(D) log 2

(E) log 0,125

 

Resolução:

$$8^p = 3 \to p \times \log 8 = \log 3 \to p = {\log 3 \over \log 8}$$

$$3^q = 5 \to q \times \log 3 = \log 5 \to q = {\log 5 \over \log 3}$$

Agora vamos calcular a seguinte quantia:

$$3pq$$

$$= 3 \times {\log 3 \over \log 8} \times {\log 5 \over \log 3}$$

$$=3 \times {\log 5 \over \log 8}$$

$$= 3 \times {\log 5 \over \log 2^3}$$

$$=3 \times {\log 5 \over 3 \log 2}$$

$$={\log 5 \over \log 2}$$

Portanto, a resposta da questão será:

$$\log 5 \div \log 2 \over 1+ \log 5 \div \log 2$$

Multiplicando numerador e denominador pelo log de 2:

$$\log 5 \over \log 2+ \log 5$$

$$ \log 5 \over \log (2 \times 5)$$

$$= {\log 5 \over \log (10)}$$

Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1.

$$= \log 5$$

Gabarito: B

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