Petrobras 2014–questão 21

11 Jan

Hoje resolvo a questão 21 da prova da Petrobrás, realizada pela Cesgranrio.


Seja $$ \theta$$ um arco do primeiro quadrante, tal que

$$\tan \theta = 3$$

Sabendo-se que

$$\sec \theta = 1 \div \cos \theta$$

Desde que $$ \cos \theta \ne 0$$ , quanto vale $$ \sec (2 \theta)$$?

(A)$$ – 0,84$$
(B)$$ -1,25$$
(C)$$ 0,8$$
(D) $$1,25$$
(E) $$10^{0,5}$$

Resolução:

$$\tan \theta = 3 $$

$${\sin \theta \over \cos \theta} = 3 $$

$$\sin \theta = 3 \cos \theta $$

$$\sin ^2 \theta = 9 \cos ^2 \theta $$

Além disso, sabemos que o quadrado do seno adicionado ao quadrado do cosseno resulta em 1:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

$$9 \cos^2 \theta +\ cos ^2 \theta = 1$$

$$\cos ^2 \theta = 0,1$$

O cosseno do arco duplo é dado por:

$$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta – \sin^2 \theta$$
$$\cos(2 \theta) = \cos^2 \theta – 9 \cos^2 (\theta) = -8 \cos^2\theta = -0,8$$

Finalmente:

$$\sec (2 \theta) = {1 \over \cos (2 \theta)} = {1 \over -0,8}  = -1,25$$

Resposta: B

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