FCC – Metrô

28 Jul

Hoje vamos para a segunda questão do bloco pedido pelo José Eduardo. Mais uma da FCC:

O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica simultaneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira   dos   investimentos os   seus rendimentos obtidos. Após alguns períodos de tempo x, o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso ocorre, essa superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a

 

A 11/32

B 25/64

C 5/8

D 3/16

E 23/256

Resolução:

Vamos jogar valores. Suponha que o tempo x corresponda a 1 mês.

Suponha ainda que, em J, a pessoa aplique 100 reais. Após o tempo “x” de 1 mês essa quantia rende 1/4 do valor aplicado, ou seja, rende 25 reais. Ela tem agora 125 reais aplicados.

A partir de agora, o rendimento de 25 reais é creditado na conta. No segundo mês, teremos rendimento de mais 1/4 do valor aplicado, ou seja, 1/4 de 125. O montante passará a:

$$ 125 + {125 \over 4} = 156,25 $$

Ao final do segundo mês o rendimento é creditado na conta, e ela passa a ter 156,25. No terceiro mês tudo se repete.

Já deu para perceber que estamos diante de um caso de capitalização composta, pois o rendimento de um mês incide sobre os rendimentos dos meses anteriores. Assim, o montante após “n” meses será de:

$$ M_J = 100 \times 1,25^n $$

Bastou multiplicar o capital inicial (100) pelo fator (1 + taxa). Em que a taxa vale 25%. Por fim, elevamos ao expoente “n”, conforme a fórmula do montante no regime composto.

No investimento “K” é tudo parecido. Com a diferença que aplicamos metade do que se investiu em J, ou seja, aplicamos 50 reais. Nesse investimento o rendimento é de 1/2 do valor aplicado, ou seja, a taxa de juros é de 50%. Daí que o montante, após “n” meses, fica:

$$ M_K = 50 \times 1,5^n $$

Após “n” meses o montante em K ultrapassa o montante em J.

$$ M_K > M_J$$

$$ 50 \times 1,5^n > 100 \times 1,25^n$$

$$ \left ( {1,5 \over 1,25} \right )^n > {100 \over 50} $$

$$ 1,2^n > 2$$

Testando valores, o primeiro “n” natural que satisfaz à desigualdade acima é n = 4. Assim, no final do quarto mês o montante em K ultrapassa o montante em J. A diferença entre eles, que foi o que o exercício chamou de “superação”, corresponde a:

$$ M_k – M_J = 50 \times 1,5^4 – 100 \times 1,25^4$$

Vou converter esses valores quebrados em frações. Lembrando que 1,5 = 6/4 e que 1,25 = 5/4

$$ = {50 \times 6^4 \over 4^4} – {100 \times 5^4 \over 4^4}$$

Colocando 50 em evidência:

$$=50 \times {6^4 – 2 \times 5^4 \over 4^4 }$$

$$ {50 \times 46 \over 256}$$

O exercício pediu a relação entre esse valor e quantia inicialmente investida em J:

$$ {50 \times 46 \over 256} \div 100 $$

$$ {23 \over 256} $$

Resposta: E

2 thoughts on “FCC – Metrô

  1. Os valores aos quais você se referiu estão na equação imediatamente acima da citação do Vitor. O 1,5 está elevado a quarta potência e se refere ao Mk. Já o 1,25, também elevado a quarta potência, se refere ao Mj. É mais prático resolver essas duas potências na forma de fração do que na forma de número decimal. O resultado da divisão de 6 por 4 é 1,5 e o resultado da divisão de 5 por 4 é 1,25. Espero ter ajudado! Abs

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