Resolução da prova de estatística do TCE SC

1 Jun

Oi pessoal! Segue resolução da prova do TCE SC, cargo 4, com recurso na questão 107.

Obs: as questões de matemática financeira foram resolvidas em meu artigo anterior.

Considerando que um auditor fiscal encarregado de analisar indícios de irregularidades em obras de um determinado estado tenha analisado 50 obras e constatado irregularidades em 40 delas, julgue os itens a seguir.

107 O desvio padrão da amostra foi inferior a 0,05.

Resolução:

Nesta questão cabe recurso!

Pergunta básica: afinal de contas, qual é a variável aleatória que estamos analisando?

Não sei, a banca não definiu.

Uai, se não sabemos sequer que variável está sendo analisada, como é que vamos calcular desvio padrão de alguma coisa? Desvio padrão do quê???

Sugestão de redação:

 A questão, em momento algum, define qual a variável aleatória em estudo. Não se sabe se é a probabilidade de irregularidade a cada extração (a cada obra analisada), se é o número de obras irregulares na amostra, se é o valor da obra, ou se é qualquer outra grandeza.

A definição exata da grandeza em estudo é crucial para a resolução da questão. Sem esta informação, pede-se a sua anulação.

Em todo caso, supondo que a cada obra analisada a gente defina uma variável de Bernoulli de parâmetro “p”, e indicando 1 em caso de irregularidade e 0 em caso de regularidade, a proporção amostral observada seria de:

$$\hat p = {40 \over 50} = 0,8$$

O desvio padrão amostral é assim calculado:

$$\sqrt {\hat p \times (1- \hat p \over n} = \sqrt {0,8 \times 0,2 \over 50}$$

$$={0,4 \over \sqrt {50}} = {0,4 \times \sqrt {50} \over 50}$$

Vamos aproximar a raiz de 50 como 7:

$$\approx 0,056$$

Item errado.


108 Se o total de obras, nesse estado, for igual a 300, então o fator de correção para a população finita deverá ser maior que 0,8.

Resolução.

Fórmula do fator:

$${N – n \over N-1}$$

Em que N é o tamanho da população e “n” é o tamanho da amostra:

$$={300-50 \over 300-1} \approx 0,83$$

Item certo

Obs: mesmo que o examinador estivesse se referindo ao fator de correção para o desvio padrão, que corresponderia à raiz de 0,83, a resposta ainda seria “certo”. Isso porque a raiz de 0,83 é maior que 0,83. Esta é uma propriedade dos números no intervalo entre 0 e 1. Quando tiramos a raiz quadrada, o resultado aumenta.


109 Mais de 70% das obras auditadas apresentaram irregularidades

Resolução:

O percentual de obras com irregularidades é de 80%, conforme calculamos no item 107. Item certo.
Um auditor foi convocado para verificar se o valor de Y, doado para a campanha de determinado candidato, estava relacionado ao valor de X, referente a contratos firmados após a sua eleição.

Com base na situação hipotética e na tabela apresentadas, julgue os itens que se seguem, considerando-se que

Capturar

$$\sum (X_i – \bar X)^2=17,5$$

$$E(Y^2)=7,25$$

110 A média de Y (valor doado para a campanha) é maior que 2.

Se são 6 graus de liberdade ao todo, então são 7 observações (basta somar 1).

$$n=7$$

A esperança do quadrado de Y vale 7,5:

$${\sum Y^2 \over 7} = 7,25$$

A soma de quadrados total fica:

$$\sum (Y – \overline Y)^2 = 7$$

$$\sum Y^2 – n \times \overline Y^2 = 7$$

Dividindo todos os termos por 7:

$$7,25- \overline Y ^2 = 1$$

$$\overline Y ^2 = 6,25$$

$$\overline Y = 2,5$$

Item certo.


111 O modelo em questão apresenta ajuste inferior a 0,5.

Basta dividir a soma de quadrados do modelo pela soma de quadrados total:

$${4,623 \over 7} \approx 0,66$$

Item errado.


112 O coeficiente angular é maior que 1.

Vamos partir da definição da soma de quadrados do modelo de regressão (SQM):

$$SQM = \sum (\hat Y – \bar Y)^2$$

$$SQM = \sum (a+bX – \bar Y)^2$$

O coeficiente linear é dado por \bar Y – b\bar X

$$SQM = \sum (\bar Y – b \bar X +bX- \bar Y)^2$$

$$SQM = b^2 \times \sum (X- \bar X)^2$$

É claro que o candidato não precisaria fazer esse passo a passo todo, desde que já soubesse direto a fórmula acima.

$$4,623=b^2\times 17,5$$

$$b^2 \approx 0,264$$

O que nos mostra que b^2 < 1 \to b < 1. Item errado.


113 O valor da estatística t para o coeficiente angular é maior que 3.

Resolução:

A estatística “t” é a raiz quadrada da estatística F.

$$t= \sqrt {9,76}$$

Que de fato é maior que 3.

ITEM CERTO.

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