Resolução da prova de Matemática Financeira do TCE SC

1 Jun

Segue resolução da prova do TCE SC, cargos 1 e 2, com recursos!

Há imprecisões em algumas questões, como é o caso da 115, 118 e 119. Comentários a seguir.
Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação hipotética relativa a proporcionalidade, porcentagem e juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.

111 A participação dos vendedores nos lucros de uma empresa é diretamente proporcional às suas vendas. Os vendedores A, B e C venderam juntos R$ 500.000 em produtos: A vendeu R$ 225.000, B vendeu R$ 175.000 e C, o restante. Eles dividiram entre si, a título de participação nos lucros, o valor de R$ 10.000. Nessa situação, C recebeu R$ 2.000 de participação nos lucros.

Resolução:

Primeiro calculamos quanto C vendeu:

$$500.000-225.000-175.000=100.000$$

Em, seguida, calculamos a participação de C nas vendas:

$${100.000 \over 500.000} = 0,2$$

Ou seja, C vendeu 20% do total.

Logo, ele deve receber 20% dos lucros, já que a participação é proporcional às vendas:

$$0,2 \times 10.000=2.000$$

Item certo.


112 Pedro aplicou R$ 10.000 em uma instituição financeira pelo prazo de 3 meses consecutivos. A taxa de juros compostos dessa aplicação no primeiro mês foi de 5%; no segundo mês, de 10%; e no terceiro, de 8%. Nessa situação, Pedro, ao final do terceiro mês, recebeu de juros mais de R$ 2.400.

Resolução:

Primeiro calculamos o montante. Basta capitalizar R$ 10.000,00 sucessivamente, por 5%, 10% e 8%:

$$M=10.000 \times 1,05 \times 1,1 \times 1,08=12.474$$

Os juros correspondem à diferença entre montante e capital:

$$J=12.474-10.000=2.474$$

Item certo.


Em cada um dos itens que se seguem, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.

113 João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais, consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda prestação foi superior a R$ 480.

Resolução.

Seja P o valor da prestação desconhecida. Trazendo todas as prestações para a data atual, temos o valor à vista de 800:

$$800 = {440 \over 1,1}+{X \over 1,1^2}$$

$$800=400+{X \over 1,21}$$

$$X=400 \times 1,21=484$$

Item certo.


114 Uma casa foi colocada à venda por R$ 120.000 à vista, ou em três parcelas, sendo a primeira de R$ 20.000 no ato da compra e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$ 48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$ 72.000. Se a taxa de juros compostos na venda parcelada for de 20% ao mês, a melhor opção de compra é pela compra parcelada.

Resolução:

Na opção parcelada, vamos trazer todas as prestações a valor presente:

$$20.000+{48.000 \over 1,2}+{72.000 \over 1,4}$$

$$=20.000+40.000+50.000$$

$$=110.000$$

O valor presente da opção parcelada é menor. Logo, esta é a melhor opção.

Item certo.

Se o candidato preferir fugir das divisões, pode ir avançando no tempo.

Exemplo:

Na opção parcelada, o valor financiado é de

$$120.000-20.000=100.000$$

Depois de um mês, temos juros de 20%, e o saldo devedor vai para 120.000. Com o pagamento da primeira prestação de 48.000, o saldo devedor cai para 72.000.

Passa mais um mês, e o saldo devedor subirá para 72.000, mais 20%. Como a última parcela é de apenas 72.000 reais, sequer vamos zerar todo o saldo devedor e vai ficar por isso mesmo. O que mostra que esta segunda opção é bem melhor (pois, na prática, corresponde a uma diminuição do valor presente do fluxo de caixa.


115 Um capital de R$ 80.000 investido durante um ano, rendeu R$ 13.870 de juros. A taxa de inflação nesse período foi de 7,3%. Nessa situação, o ganho real do investimento foi superior a R$ 8.000.

Resolução:

A questão não informou, mas, para chegarmos ao gabarito da banca, devemos supor que estamos calculando o ganho real referido ao final do ano 1.

Ao longo deste ano, se o capital tivesse aumentado 7,3%, ele teria apenas coberto a inflação. Ou seja, a parte relativa à inflação foi de:

$$7,3\% \times 80.000 = 5.840$$

O restante do rendimento é ganho real:

$$13.870-5.840=8.030$$

Item certo.

Observação: se o candidato tivesse calculado o ganho real referido à data 0, teria obtido 7.843,69 e marcaria “Item errado”.

Então cabe recurso!

Destaco que nessa questão abaixo indicada, praticamente idêntica à que resolvemos acima, o gabarito do Cespe só poderia ter sido obtido com este raciocínio:

https://www.tecconcursos.com.br/conteudo/questoes/183188

Para quem quiser fazer o recurso, pode escrever assim:

O enunciado não deixa claro se o ganho real deve ser calculado tendo como data base a data da aplicação, ou a data de resgate. Se adotarmos a data da aplicação, o ganho real seria de:

$${13.870-5.840 \over 1,073}=7.483,69$$

e o item estaria errado.

Tendo em vista a omissão da questão, que interfere diretamente no cálculo solicitado, pede-se a sua anulação.

 


116 Um investidor do mercado imobiliário comprou um terreno por R$ 40.000 e, após dois anos, vendeu-o por R$ 62.400. A taxa de inflação acumulada durante esses dois anos foi de 20%. Nessa situação, a rentabilidade real desse investimento foi superior a 32% no biênio.

Resolução:

Primeiro calculamos a taxa nominal (i):

$$1+i={62.400 \over 40.000} = 1,56$$

As taxas nominal (i), de inflação (j) e real (r) se relacionam do seguinte modo:

$$1+i = (1+j) \times (1+r)$$

$$1,56=1,20 \times (1+r)$$

$$1+r={1,56 \over 1,20} = 1,3$$

$$r=30\%$$

Item errado.


117 Um banco faz empréstimos, no regime de juros compostos, à taxa de 48% ao ano com capitalização mensal. Nessa situação, considerando 1,26 como valor aproximado para 1,046 , é correto afirmar que a taxa efetiva anual desses empréstimos será inferior a 55%.

Resolução.

A partir da taxa de 48% ao ano, nominal, com capitalização mensal, podemos determinar a taxa efetiva mensal:

$$i_m=48\% \div 12 = 4\%$$

Bastou dividir por 12, já que na conversão de taxa nominal para efetiva vale a regra de 3.

Em seguida, pegamos a taxa efetiva mensal e capitalizamos 12 vezes, para chegar na taxa efetiva anual:

$$1+i_a=(1+i_m)^{12}$$

$$1+i_a=1,04^{12}$$

$$1+i_a=\left [(1,04)^6 \right ]^2$$

$$1+i_a=1,26^2=1,5876$$

$$i_a=58,76\%$$

Item errado.


Em cada um dos próximos itens, é apresentada uma situação hipotética relacionada aos sistemas de amortização, seguida de uma assertiva a ser julgada.

118 Um empréstimo de R$ 25.000 foi quitado pelo sistema de amortização misto em 10 parcelas mensais e consecutivas à taxa de juros compostos de 4% ao mês. A primeira parcela foi paga um mês após a tomada do empréstimo. Nessa situação, considerando 1,5 como valor aproximado para 1,0410, a amortização correspondente à primeira parcela foi superior a R$ 2.300.

Resolução.

Se o candidato quiser forçar um recurso aqui, dá para tentar. Pois existem inúmeros sistemas mistos, e a banca não especificou a qual deles se refere.

Eu acho pouco provável que esse recurso seja provido, pois esta imprecisão é extremamente comum em provas de concursos, e as bancas sempre se restringem unicamente ao sistema que combina as prestações do SAC e do Price, com pesos de ponderação de 50% para cada lado. Ou seja, fazemos uma média aritmética entre SAC e Price. Nunca ví uma questão de prova cobrando um sistema misto diferente desse.

Em todo caso, para quem quiser arriscar, segue sugestão:

Existem inúmeros sistemas mistos diferentes. Um sistema misto é qualquer sistema que combine dois outros sistemas.

Exemplificando, apenas combinando SAC com sistema Price, seria possível gerar inúmeros sistemas mistos, apenas variando-se os pesos de ponderação.

Se adotássemos um sistema utilizando-se 60% da prestação do Price e 40% da prestação do SAC, teríamos um sistema misto. Se invertermos os pesos de ponderação, teríamos um segundo sistema misto. Sem contar que seria possível usar quaisquer outros pesos.

Diante da falta de especificação acerca do exato sistema misto pretendido, solicita-se a anulação da questão.

Vamos às contas.

A amortização no SAC é bem tranquila. Basta dividir o valor da dívida pelo número de prestações:

$$q={25.000 \over 10} = 2.500$$

Para o sistema Price, precisamos determinar o fator de valor atual:

$$a_{n-i} = \left [ 1 -{1 \over (1+i)^{n}} \right ] \div i$$

$$=\left [1 – {1 \over 1,04^{10}} \right ] \div 0,04$$

$$=\left [ 1 – {1 \over 1,5} \right ] \div 0,04$$

$$={0,5 \over 1,5 \times 0,04}$$

$$={100 \over 12}$$

Multiplicando o fator de valor atual pela prestação P do sistema price, temos o valor atual da dívida:

$$25.000 = P \times {100 \over 12}$$

$$P=3.000$$

Na primeira prestação do Price, teremos juros de 4% sobre o saldo devedor (0,04 \times 25.000=1.000). O restante da prestação é para amortizar a dívida. Logo, a primeira amortização será de 3.000-1.000=2.000

Então já sabemos que a primeira amortização do SAC é de 2.500,00 e que a primeira amortização do Price é de 2.000,00. Assim, a primeira amortização do sistema misto será a média aritmética destes valores:

$${2.000+2.500 \over 2} = 2.250$$

Item errado.


119 Um banco emprestou R$ 30.000 entregues no ato, sem prazo de carência, para serem pagos pelo sistema de amortização francês, em prestações de R$ 800. A primeira prestação foi paga um mês após a tomada do empréstimo, e o saldo devedor após esse pagamento era de R$ 29.650. Nessa situação, a taxa de juros desse empréstimo foi inferior a 1,8%.

Resolução.

Aqui o candidato poderia tentar um recurso, pois a questão omitiu a periodicidade da taxa (1,8% o quê? ao mês? ao ano? ao bimestre?).

Chuto que a chance de provimento do recurso é relativamente baixa, mas não custa tentar!

O enunciado não deixa claro se a taxa de 1,8% tem periodicidade mensal, anual, bimestral, trimestral, quadrimestral, diária, ou se tem qualquer outra periodicidade. A definição exata do período da taxa tem interferência direta nos cálculos para se resolver a questão. Diante da omissão da banca, pede-se a anulação da questão.

Vamos às contas. Seja “i” a taxa de juros mensal.

Imediatamente após o decurso do primeiro período, o saldo devedor sobe para 30.000 \times (1+i). Em seguida, pagamos a prestação de 800,00, e o saldo devedor cai para 29.650. Logo:

$$30.000 \times (1+i) -800=29.650$$

$$1+i={29.650+800 \over 30.000} = 1,015$$

$$i=1,5\%$$

Item certo.


120 Um financiamento de R$ 10.000 foi feito pelo sistema de amortização constante (SAC) em 5 meses consecutivos e com 2 meses de carência. A operação foi contratada à taxa de juros de 8% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda prestação após o início da amortização era inferior a R$ 2.500.

Resolução:

Durante a carência, o saldo devedor aumenta 8% ao mês. Ao final dos dois meses de carência ele estará em:

$$10.000 \times 1,08^2=11.664$$

A amortização mensal será de:

$$q={11.664 \over 5} = 2.332,80$$

Os juros da primeira prestação correspondem a 8% do saldo devedor:

$$0,08 \times 11.664=933,12$$

Assim, a primeira prestação será de

$$2.332,80+933,12=3.265,92$$

A partir daí as prestações caem em PA de razão i \times q = 0,08 \times 2.332,80 = 186,62

Então a segunda prestação será de:

$$3.265,92-186,62=3.079,30$$

Item errado

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